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S1 2023 Oct Q4

A Level / Edexcel / S1

IAL 2023 Oct Paper · Question 4

题目

Problem

The discrete random variable XX has the following probability distribution.

x1234P(X=x)1101531025\begin{array}{c|cccc} x&1&2&3&4\\ \hline P(X=x)&\frac{1}{10}&\frac{1}{5}&\frac{3}{10}&\frac{2}{5} \end{array}

(a) Show that E⁡(1X)=25\operatorname{E}\left(\dfrac{1}{X}\right)=\dfrac{2}{5}

(1)

(b) Find Var⁡(1X)\operatorname{Var}\left(\dfrac{1}{X}\right)

(3)

The random variable Y=30XY=\dfrac{30}{X}

(c) Find

(i) E⁡(Y)\operatorname{E}(Y)

(ii) Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y)

(3)

(d) Find P(X<3∣Y<20)P\left(X<3\mid Y<20\right)

(5)
题目中文翻译

离散随机变量 XX 具有题目所给的概率分布。

(a) 证明

E⁡(1X)=25.\operatorname{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac25.

(b) 求

Var⁡(1X).\operatorname{Var}\left(\frac{1}{X}\right).

随机变量

Y=30X.Y=\frac{30}{X}.

(c) 求

(i) E⁡(Y)\operatorname{E}(Y)；

(ii) Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y)。

(d) 求

P(X<3∣Y<20).P(X<3\mid Y<20).

解答

(a)

解法一

思路

展开

把每个 xx 对应的 1x\dfrac{1}{x} 乘以概率再相加即可。因为题目要求 show that，要把计算式写出来。

答题过程

展开 E⁡(1X)= 1⋅110+12⋅15 +13⋅310+14⋅25= 110+110+110+110= 25.\begin{align*} \operatorname{E}\left(\frac{1}{X}\right) =&\,1\cdot\frac{1}{10} +\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\\ &\,\hspace{2pt} +\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{10} +\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}\\ =&\,\frac{1}{10}+\frac{1}{10} +\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\\ =&\,\frac{2}{5}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先求 E⁡((1X)2)\operatorname{E}\left(\left(\dfrac{1}{X}\right)^2\right)，再用

Var⁡(T)=E⁡(T2)−[E⁡(T)]2.\begin{align*} \operatorname{Var}(T)=\operatorname{E}(T^2)-[\operatorname{E}(T)]^2. \end{align*}

答题过程

展开 E⁡((1X)2)= 12⋅110+(12)2⋅15 +(13)2⋅310+(14)2⋅25= 110+120+130+140= 524.\begin{align*} \operatorname{E}\left(\left(\frac{1}{X}\right)^2\right) =&\,1^2\cdot\frac{1}{10} +\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{5}\\ &\,\hspace{2pt} +\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{3}{10} +\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{2}{5}\\ =&\,\frac{1}{10}+\frac{1}{20} +\frac{1}{30}+\frac{1}{40}\\ =&\,\frac{5}{24}. \end{align*}

Therefore

Var⁡(1X)= 524−(25)2= 524−425= 29600.\begin{align*} \operatorname{Var}\left(\frac{1}{X}\right) =&\,\frac{5}{24}-\left(\frac{2}{5}\right)^2\\ =&\,\frac{5}{24}-\frac{4}{25}\\ =&\,\frac{29}{600}. \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

展开

因为 Y=30(1X)Y=30\left(\dfrac{1}{X}\right)，期望可以直接乘以 3030。

答题过程

展开 E⁡(Y)= 30E⁡(1X)= 30⋅25= 12.\begin{align*} \operatorname{E}(Y) =&\,30\operatorname{E}\left(\frac{1}{X}\right)\\ =&\,30\cdot\frac{2}{5}\\ =&\,12. \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

展开

若 Y=30TY=30T，则 Var⁡(Y)=302Var⁡(T)\operatorname{Var}(Y)=30^2\operatorname{Var}(T)，不是乘 3030。

答题过程

展开 Var⁡(Y)= 302Var⁡(1X)= 900⋅29600= 872.\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&\,30^2\operatorname{Var}\left(\frac{1}{X}\right)\\ =&\,900\cdot\frac{29}{600}\\ =&\,\frac{87}{2}. \end{align*}

解法二

思路

展开

直接列出 X=1,2,3,4X=1,2,3,4 时对应的 Y=30,15,10,7.5Y=30,15,10,7.5，先求 E⁡(Y2)\operatorname{E}(Y^2)，再用方差公式。

答题过程

展开 E⁡(Y2)= 302(110) +152(15) +102(310) +7.52(25)= 3752.\begin{align*} \operatorname{E}(Y^2) =&\,30^2\left(\frac{1}{10}\right)\\ &\,\hspace{2pt}+15^2\left(\frac{1}{5}\right)\\ &\,\hspace{4pt}+10^2\left(\frac{3}{10}\right)\\ &\,\hspace{6pt}+7.5^2\left(\frac{2}{5}\right)\\ =&\,\frac{375}{2}. \end{align*}

Using E⁡(Y)=12\operatorname{E}(Y)=12 from part (c)(i),

Var⁡(Y)= E⁡(Y2)−[E⁡(Y)]2= 3752−122= 872.\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&\,\operatorname{E}(Y^2)-[\operatorname{E}(Y)]^2\\ =&\,\frac{375}{2}-12^2\\ =&\,\frac{87}{2}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

先把 Y<20Y<20 转成关于 XX 的条件。由于 XX 只能取 1,2,3,41,2,3,4，也可以直接列出 YY 的对应值。

答题过程

展开

Since X∈{1,2,3,4}X\in\{1,2,3,4\}, we have X>0X>0. Since

Y=30X,\begin{align*} Y=\frac{30}{X}, \end{align*}

we have

Y<20  ⟺  30X<20  ⟺  X>32.\begin{align*} Y<20 &\iff \frac{30}{X}<20\\ &\iff X>\frac{3}{2}. \end{align*}

So

P(Y<20)= P(X>32)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)= 15+310+25= 910.\begin{align*} P(Y<20) =&\,P\left(X>\frac{3}{2}\right)\\ =&\,P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\\ =&\,\frac{1}{5}+\frac{3}{10}+\frac{2}{5}\\ =&\,\frac{9}{10}. \end{align*}

Also,

X<3 and Y<20\begin{align*} X<3\ \text{and}\ Y<20 \end{align*}

means

X=2.\begin{align*} X=2. \end{align*}

Therefore

P(X<3∣Y<20)= P(X=2)P(Y<20)= 15910= 29.\begin{align*} P(X<3\mid Y<20) =&\,\frac{P(X=2)}{P(Y<20)}\\ =&\,\frac{\frac{1}{5}}{\frac{9}{10}}\\ =&\,\frac{2}{9}. \end{align*}