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S1 2024 Jan Q3

A Level / Edexcel / S1

IAL 2024 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

In a sixth form college each student in Year 1212 and Year 1313 is either left-handed (L)(L) or right-handed (R)(R).

The partially completed tree diagram, where pp is a probability, gives information about these students.

(a) Complete the tree diagram, in terms of pp where necessary.

(1)

The probability that a student is left-handed is 0.110.11.

(b) Find the value of pp.

(3)

(c) Find the probability that a student selected at random is in Year 1212 and left-handed.

(2)

Given that a student is right-handed,

(d) find the probability that the student is in Year 1212.

(2)
题目中文翻译

在一所 sixth form college 中，每位 Year 1212 或 Year 1313 的学生都是左撇子 (L)(L) 或右撇子 (R)(R)。上方未完成的树状图给出了这些学生的资料，其中 pp 是一个概率。

(a) 补全树状图；必要时用 pp 表示答案。

一名学生是左撇子的概率为 0.110.11。

(b) 求 pp 的值。

(c) 求随机选取的一名学生既在 Year 1212 又是左撇子的概率。

已知一名学生是右撇子，

(d) 求该学生在 Year 1212 的概率。

解答

(a)

解法一

思路

展开

每一处分支概率相加为 11。第一层 Year 12 是 pp，所以 Year 13 是 1−p1-p。Year 12 下的 left-handed 是 18\frac18，所以 right-handed 是 78\frac78。Year 13 下的 left-handed 是 110\frac1{10}，所以 right-handed 是 910\frac9{10}。

答题过程

展开

The missing probabilities are

1−p,78,910.\begin{align*} 1-p,\qquad \frac78,\qquad \frac9{10}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

左撇子的总概率来自两条路径：Year 12 且 left-handed，或 Year 13 且 left-handed。

答题过程

展开

Since P(L)=0.11P(L)=0.11,

18p+110(1−p)=0.11.\begin{align*} \frac18p+\frac1{10}(1-p)=0.11. \end{align*}

Multiplying by 4040,

5p+4(1−p)= 4.4p+4= 4.4p= 0.4.\begin{align*} 5p+4(1-p)=&\,4.4\\ p+4=&\,4.4\\ p=&\,0.4. \end{align*}

Therefore

p=25.\begin{align*} p=\frac25. \end{align*}

解法二

思路

展开

把 18\frac18 和 110\frac1{10} 写成小数，直接解同一个全概率方程。

答题过程

展开

Using 18=0.125\frac18=0.125 and 110=0.1\frac1{10}=0.1,

0.125p+0.1(1−p)= 0.110.025p= 0.01p= 0.4=25.\begin{align*} 0.125p+0.1(1-p)=&\,0.11\\ 0.025p=&\,0.01\\ p=&\,0.4=\frac25. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

沿树图路径相乘：Year 12 的概率乘以 Year 12 条件下 left-handed 的概率。

答题过程

展开 P(Year 12 and L)= p⋅18= 25⋅18= 120.\begin{align*} P(\text{Year 12 and }L) =&\,p\cdot\frac18\\ =&\,\frac25\cdot\frac18\\ =&\,\frac1{20}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

这是条件概率：

P(Year 12∣R)=P(Year 12 and R)P(R).\begin{align*} P(\text{Year 12}\mid R)=\frac{P(\text{Year 12 and }R)}{P(R)}. \end{align*}

已知 P(L)=0.11P(L)=0.11，所以 P(R)=0.89P(R)=0.89。

答题过程

展开 P(R)=1−0.11=0.89=89100.\begin{align*} P(R)=1-0.11=0.89=\frac{89}{100}. \end{align*}

Also,

P(Year 12 and R)= 25⋅78= 720.\begin{align*} P(\text{Year 12 and }R) =&\,\frac25\cdot\frac78\\ =&\,\frac7{20}. \end{align*}

Therefore

P(Year 12∣R)= P(Year 12 and R)P(R)= 72089100= 3589.\begin{align*} P(\text{Year 12}\mid R) =&\,\frac{P(\text{Year 12 and }R)}{P(R)}\\ =&\,\frac{\frac7{20}}{\frac{89}{100}}\\ =&\,\frac{35}{89}. \end{align*}

解法二

思路

展开

直接把树图中两条通往 RR 的路径相加求 P(R)P(R)，再使用条件概率。

答题过程

展开

Using the two right-handed branches,

P(R)= 25⋅78+35⋅910= 720+2750= 89100.\begin{align*} P(R) =&\,\frac25\cdot\frac78+\frac35\cdot\frac9{10}\\ =&\,\frac7{20}+\frac{27}{50}\\ =&\,\frac{89}{100}. \end{align*} P(Year 12∣R)= 7/2089/100= 3589.\begin{align*} P(\text{Year 12}\mid R) =&\,\frac{7/20}{89/100}\\ =&\,\frac{35}{89}. \end{align*}