题目

Problem

The events $A$ and $B$ satisfy

P(A)=x,\qquad P(B)=y,\qquad P(A\cup B)=0.65,\qquad P(B\mid A)=0.3.

(a) Show that

14x+20y=13.

(3)

The events $B$ and $C$ are mutually exclusive such that

P(B\cup C)=0.85,\qquad P(C)=\frac12x+y.

(b) (i) Find a second equation in $x$ and $y$ .

(ii) Hence find the value of $x$ and the value of $y$ .

(4)

(2)

题目中文翻译

事件 $A$ 和 $B$ 满足题目所列的概率条件。

(a) 证明 $14x+20y=13$ 。

事件 $B$ 和 $C$ 互斥，并满足题目所列的条件。

(b) (i) 求一个关于 $x$ 和 $y$ 的第二个方程。

(ii) 由此求 $x$ 和 $y$ 的值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

由条件概率得

\begin{align*} P(A\cap B)=0.3x. \end{align*}

再代入加法公式

\begin{align*} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). \end{align*}

答题过程

展开

Since

\begin{align*} P(B\mid A)=0.3, \end{align*}

we have

\begin{align*} \frac{P(A\cap B)}{P(A)}=0.3. \end{align*}

\begin{align*} P(A\cap B)=0.3x. \end{align*}

Using

\begin{align*} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B), \end{align*}

we get

\begin{align*} 0.65=&\,x+y-0.3x\\ 0.65=&\,0.7x+y. \end{align*}

Multiplying by $20$ ,

\begin{align*} 13=14x+20y. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} 14x+20y=13. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

$B$ 和 $C$ 互斥，所以

\begin{align*} P(B\cup C)=P(B)+P(C). \end{align*}

答题过程

展开

Since $B$ and $C$ are mutually exclusive,

\begin{align*} P(B\cup C)=P(B)+P(C). \end{align*}

Therefore

\begin{align*} 0.85=&\,y+\left(\frac12x+y\right)\\ 0.85=&\,\frac12x+2y. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

联立

\begin{align*} 14x+20y=13 \end{align*}

和

\begin{align*} \frac12x+2y=0.85. \end{align*}

答题过程

展开

From part (b)(i),

\begin{align*} \frac12x+2y=0.85. \end{align*}

Multiplying by $20$ ,

\begin{align*} 10x+40y=17. \end{align*}

Also,

\begin{align*} 14x+20y=13. \end{align*}

Double the second equation:

\begin{align*} 28x+40y=26. \end{align*}

Subtracting $10x+40y=17$ gives

\begin{align*} 18x=&\,9\\ x=&\,0.5. \end{align*}

Substituting into $\frac12x+2y=0.85$ ,

\begin{align*} 0.25+2y=&\,0.85\\ 2y=&\,0.60\\ y=&\,0.30. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} x=0.5,\qquad y=0.3. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

判断独立性可比较 $P(B\mid A)$ 和 $P(B)$ 。这里 $P(B\mid A)=0.3$ ，而 $P(B)=y=0.3$ ，相等，所以独立。

答题过程

展开

We have

\begin{align*} P(B\mid A)=0.3 \end{align*}

and

\begin{align*} P(B)=y=0.3. \end{align*}

Since

\begin{align*} P(B\mid A)=P(B), \end{align*}

the events $A$ and $B$ are statistically independent.

解法二

思路

展开

也可检验独立事件的乘法条件 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 。

答题过程

展开

From part (a),

P(A\cap B)=0.3x=0.3(0.5)=0.15.

Also,

P(A)P(B)=xy=(0.5)(0.3)=0.15.

Since $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , the events $A$ and $B$ are statistically independent.

S1 2024 Jan Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程