题目

Problem

A spinner can land on the numbers $2$ , $4$ , $5$ , $7$ or $8$ only. The random variable $X$ represents the number that this spinner lands on when it is spun once. The probability distribution of $X$ is given in the table below.

$x$	$2$	$4$	$5$	$7$	$8$
$P(X=x)$	$0.25$	$0.3$	$0.2$	$0.1$	$0.15$

(a) Find $P(2X-3>5)$ .

(1)

Given that $E(X)=4.6$

(b) show that $\operatorname{Var}(X)=4.14$ .

(3)

The random variable $Y=aX-b$ where $a$ and $b$ are positive constants.

Given that

E(Y)=13.4 \quad\text{and}\quad \operatorname{Var}(Y)=66.24

(4)

In a game Sam and Alex each spin the spinner once, landing on $X_1$ and $X_2$ respectively. Sam’s score is given by the random variable $S=X_1$ . Alex’s score is given by the random variable $R=2X_2-3$ . The person with the higher score wins the game. If the scores are the same it is a draw.

(d) Find the probability that Sam wins the game.

(4)

题目中文翻译

一个转盘只能停在数字 $2,4,5,7,8$ 上。随机变量 $X$ 表示转盘转动一次所停在的数字，其概率分布如表所示。

(a) 求 $P(2X-3>5)$ 。

已知 $E(X)=4.6$ 。

(b) 证明 $\operatorname{Var}(X)=4.14$ 。

随机变量 $Y=aX-b$ ，其中 $a,b$ 为正常数。已知 $E(Y)=13.4$ 且 $\operatorname{Var}(Y)=66.24$ 。

在一个游戏中，Sam 和 Alex 各转动转盘一次，结果分别记为 $X_1$ 、 $X_2$ 。Sam 的得分为 $S=X_1$ ，Alex 的得分为 $R=2X_2-3$ 。得分较高者获胜；得分相同则为平局。

(d) 求 Sam 获胜的概率。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先解不等式：

\begin{align*} 2X-3>5\Longrightarrow X>4. \end{align*}

所以取 $X=5,7,8$ 的概率相加。

答题过程

展开

\begin{align*} 2X-3&>5\\ 2X&>8\\ X&>4. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P(2X-3>5) =&\,P(X=5)+P(X=7)+P(X=8)\\ =&\,0.2+0.1+0.15\\ =&\,0.45. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用

\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2. \end{align*}

题目已经给出 $E(X)=4.6$ ，所以重点是完整算出 $E(X^2)$ 。

答题过程

展开

First,

\begin{align*} E(X^2) =&\,2^2(0.25)+4^2(0.3)+5^2(0.2)\\ &\,\hspace{2pt}+7^2(0.1)+8^2(0.15)\\ =&\,1+4.8+5+4.9+9.6\\ =&\,25.3. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,E(X^2)-[E(X)]^2\\ =&\,25.3-(4.6)^2\\ =&\,25.3-21.16\\ =&\,4.14. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

线性变换的期望和方差：

\begin{align*} E(aX-b)=aE(X)-b, \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{Var}(aX-b)=a^2\operatorname{Var}(X). \end{align*}

先用方差求 $a$ ，再用期望求 $b$ 。

答题过程

展开

Since $Y=aX-b$ ,

\begin{align*} E(Y)=aE(X)-b. \end{align*}

\begin{align*} 13.4=4.6a-b. \end{align*}

Also,

\begin{align*} \operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X). \end{align*}

Hence

\begin{align*} 66.24=&\,4.14a^2\\ a^2=&\,16\\ a=&\,4, \end{align*}

since $a$ is positive.

Then

\begin{align*} 13.4=&\,4.6(4)-b\\ b=&\,18.4-13.4\\ b=&\,5. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} a=4,\qquad b=5. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

Sam 的分数就是 $X_1$ 。Alex 的分数是 $2X_2-3$ ，所以 Alex 可能得分：

\begin{align*} 1,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13. \end{align*}

列出 Sam 赢的情况，再把独立概率相乘相加。

答题过程

展开

Sam wins when

\begin{align*} X_1>2X_2-3. \end{align*}

If Alex spins $2$ , then $R=1$ , so Sam always wins.

If Alex spins $4$ , then $R=5$ , so Sam must spin $7$ or $8$ .

If Alex spins $5$ , then $R=7$ , so Sam must spin $8$ .

If Alex spins $7$ or $8$ , then $R=11$ or $13$ , so Sam cannot win.

Therefore

\begin{align*} P(\text{Sam wins}) =&\,0.25\\ &\,\hspace{2pt}+0.3(0.1+0.15)\\ &\,\hspace{4pt}+0.2(0.15)\\ =&\,0.25+0.075+0.03\\ =&\,0.355. \end{align*}

解法二

思路

展开

按 Sam 的得分分组。注意分数相同是平局，不能计入 Sam 获胜。

答题过程

展开

Sam wins in the following cases:

Sam spins $8$ and Alex spins $2$ , $4$ or $5$ .
Sam spins $7$ and Alex spins $2$ or $4$ .
Sam spins $2$ , $4$ or $5$ and Alex spins $2$ .

Therefore

\begin{align*} P(\text{Sam wins}) =&\,0.15(0.25+0.3+0.2)\\ &+0.1(0.25+0.3)\\ &+(0.25+0.3+0.2)(0.25)\\ =&\,0.355. \end{align*}

S1 2024 May Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程