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S1 2024 May Q3

A Level / Edexcel / S1

IAL 2024 May Paper · Question 3

题目

Problem

The lengths, xx mm, of 5050 pebbles are summarised in the table below.

LengthFrequency
20⩽x<3020\leqslant x<3022
30⩽x<3230\leqslant x<321616
32⩽x<3632\leqslant x<362020
36⩽x<4036\leqslant x<4088
40⩽x<4540\leqslant x<4533
45⩽x<5045\leqslant x<5011

A histogram is drawn to represent these data. The bar representing the class 32⩽x<3632\leqslant x<36 is 2.52.5 cm wide and 7.57.5 cm tall.

(a) Calculate the width and the height of the bar representing the class 30⩽x<3230\leqslant x<32.

(3)

(b) Using linear interpolation, estimate the median of xx.

(2)

The weight, ww grams, of each of the 5050 pebbles is coded using

10y=w−20.10y=w-20.

These coded data are summarised by

∑y=104,∑y2=233.54.\sum y=104,\qquad \sum y^2=233.54.

(c) Show that the mean of ww is 40.840.8.

(2)

(d) Calculate the standard deviation of ww.

(4)

The weight of a pebble recorded as 40.840.8 grams is added to the sample.

(e) Without carrying out any further calculations, state, giving a reason, what effect this would have on the value of

(i) the mean of ww

(ii) the standard deviation of ww

(3)
题目中文翻译

5050 颗卵石的长度 xx mm 汇总在表中。用直方图表示这些数据时，组别 32⩽x<3632\leqslant x<36 的柱宽为 2.52.5 cm、柱高为 7.57.5 cm。

(a) 计算组别 30⩽x<3230\leqslant x<32 的柱宽和柱高。

(b) 利用线性插值估计 xx 的中位数。

每颗卵石的重量 ww g 用 10y=w−2010y=w-20 编码；编码后的数据满足 ∑y=104\sum y=104、∑y2=233.54\sum y^2=233.54。

(c) 证明 ww 的平均数为 40.840.8。

(d) 计算 ww 的标准差。

在样本中加入一颗记录重量为 40.840.8 g 的卵石。

(e) 不作进一步计算，说明这会对 (i) ww 的平均数和 (ii) ww 的标准差产生什么影响，并说明理由。

解答

(a)

解法一

思路

展开

Histogram 里面积代表频数。已知 32⩽x<3632\leqslant x<36 这组频数 2020，图上面积是 2.5×7.5=18.752.5\times7.5=18.75。先确定面积比例，再算 30⩽x<3230\leqslant x<32 这组的面积和宽高。

答题过程

展开

For 32⩽x<3632\leqslant x<36, the area on the histogram is

2.5(7.5)=18.75.\begin{align*} 2.5(7.5)=18.75. \end{align*}

This represents a frequency of 2020.

For 30⩽x<3230\leqslant x<32, the frequency is 1616, so the area is

1620(18.75)=15.\begin{align*} \frac{16}{20}(18.75)=15. \end{align*}

The class width 30⩽x<3230\leqslant x<32 is half of the class width 32⩽x<3632\leqslant x<36, so the bar width is

24(2.5)=1.25 cm.\begin{align*} \frac{2}{4}(2.5)=1.25\text{ cm}. \end{align*}

Therefore the height is

151.25=12 cm.\begin{align*} \frac{15}{1.25}=12\text{ cm}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

5050 个数据的中位数位置取第 2525 个。到 3232 mm 前累计频数是 1818，所以中位数在 32⩽x<3632\leqslant x<36 这一组里。

答题过程

展开

The median is the 2525th value.

The cumulative frequency before the class 32⩽x<3632\leqslant x<36 is

2+16=18.\begin{align*} 2+16=18. \end{align*}

Using linear interpolation,

median= 32+25−1820(36−32)= 32+720(4)= 33.4.\begin{align*} \text{median} =&\,32+\frac{25-18}{20}(36-32)\\ =&\,32+\frac{7}{20}(4)\\ =&\,33.4. \end{align*}

So the estimated median is

33.4 mm.\begin{align*} 33.4\text{ mm}. \end{align*}

解法二

思路

展开

用比例理解插值：中位数是 32⩽x<3632\leqslant x<36 组内第 77 个数据，占该组 2020 个数据的 720\frac7{20}，因此从下界向右移动组宽的 720\frac7{20}。

答题过程

展开

The median is the 2525th value, which is the 77th value in the class 32⩽x<3632\leqslant x<36. Hence

median= 32+720(36−32)= 33.4 mm.\begin{align*} \text{median} =&\,32+\frac7{20}(36-32)\\ =&\,33.4\text{ mm}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

由 10y=w−2010y=w-20 得

w=10y+20.\begin{align*} w=10y+20. \end{align*}

所以平均数也满足

wˉ=10yˉ+20.\begin{align*} \bar{w}=10\bar{y}+20. \end{align*}

答题过程

展开

The mean of yy is

yˉ=10450=2.08.\begin{align*} \bar{y}=\frac{104}{50}=2.08. \end{align*}

Since

w=10y+20,\begin{align*} w=10y+20, \end{align*}

we have

wˉ= 10yˉ+20= 10(2.08)+20= 40.8.\begin{align*} \bar{w} =&\,10\bar{y}+20\\ =&\,10(2.08)+20\\ =&\,40.8. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

先求 yy 的标准差，再乘以 1010。因为 w=10y+20w=10y+20，加 2020 不改变标准差，乘以 1010 会让标准差乘以 1010。

答题过程

展开

First,

Var⁡(Y)= ∑y250−(∑y50)2= 233.5450−(10450)2= 4.6708−4.3264= 0.3444.\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&\,\frac{\sum y^2}{50}-\left(\frac{\sum y}{50}\right)^2\\ =&\,\frac{233.54}{50}-\left(\frac{104}{50}\right)^2\\ =&\,4.6708-4.3264\\ =&\,0.3444. \end{align*}

So

sd⁡(Y)=0.3444.\begin{align*} \operatorname{sd}(Y)=\sqrt{0.3444}. \end{align*}

Since w=10y+20w=10y+20,

sd⁡(W)= 10sd⁡(Y)= 100.3444= 5.868….\begin{align*} \operatorname{sd}(W) =&\,10\operatorname{sd}(Y)\\ =&\,10\sqrt{0.3444}\\ =&\,5.868\ldots. \end{align*}

Therefore

sd⁡(W)=5.87 g\begin{align*} \operatorname{sd}(W)=5.87\text{ g} \end{align*}

to 33 significant figures.

解法二

思路

展开

由 w=10y+20w=10y+20 直接转换原始统计量 ∑w\sum w 与 ∑w2\sum w^2，再使用标准差公式。

答题过程

展开

Since w=10y+20w=10y+20 and n=50n=50,

∑w= 10∑y+20n= 10(104)+20(50)= 2040.\begin{align*} \sum w =&\,10\sum y+20n\\ =&\,10(104)+20(50)\\ =&\,2040. \end{align*} ∑w2= 100∑y2+400∑y+400n= 100(233.54)+400(104)+400(50)= 84954.\begin{align*} \sum w^2 =&\,100\sum y^2+400\sum y+400n\\ =&\,100(233.54)+400(104)\\ &+400(50)\\ =&\,84954. \end{align*} Var⁡(W)= 8495450−(40.8)2= 34.44.\begin{align*} \operatorname{Var}(W) =&\,\frac{84954}{50}-(40.8)^2\\ =&\,34.44. \end{align*} sd⁡(W)= 34.44= 5.868…= 5.87 g(3 s.f.).\begin{align*} \operatorname{sd}(W) =&\,\sqrt{34.44}\\ =&\,5.868\ldots\\ =&\,5.87\text{ g}\quad(3\text{ s.f.}). \end{align*}

(e)(i)

解法一

思路

展开

新加入的数据正好等于原来的平均数 40.840.8，所以平均数不变。

答题过程

展开

The mean would not change, since the added value is equal to the current mean.

(e)(ii)

解法一

思路

展开

新加入的数据在正中心，不增加离均差；但数据总数增加了，所以整体离散程度会降低，标准差变小。

答题过程

展开

The standard deviation would decrease, because the added value is at the mean, making the data more concentrated about the mean.