题目

Problem

The back-to-back stem and leaf diagram on page 3 shows information about the running times of $31$ Action films and $31$ Comedy films. The running times are given to the nearest minute.

Key: $0\mid 9\mid 2$ means $90$ minutes for an Action film and $92$ minutes for a Comedy film.

(a) Write down the modal running time for these Action films.

(1)

Some of the quartiles for these two distributions are shown in the table below.

	Lower quartile	Median	Upper quartile
Action films	$121$	$b$	$138$
Comedy films	$a$	$117$	$c$

(b) Find the value of $a$ , the value of $b$ and the value of $c$ .

(3)

(i) the mean running time,

(ii) the standard deviation of the running times.

(You may use $\sum x=4016$ and $\sum x^2=525056$ , where $x$ is the running time, in minutes, of an Action film.)

(3)

A measure of skewness is given by

\frac{\text{mean}-\text{mode}}{\text{standard deviation}}.

(d) Evaluate this measure and describe the skewness for the running times of these Action films.

(2)

(e) Comment on one difference between the distribution of the running times of these Action films and the distribution of the running times of these Comedy films. State the values of any statistics you have used to support your comment.

(1)

题目中文翻译

第 3 页的背靠背茎叶图给出了 $31$ 部动作片和 $31$ 部喜剧片的片长信息，单位为分钟。片长均精确到最接近的整数分钟。

图中的键表示： $0\mid9\mid2$ 对应一部动作片片长为 $90$ 分钟，一部喜剧片片长为 $92$ 分钟。

(a) 写出这些动作片片长的众数。

下表给出了这两个分布的部分四分位数。

	下四分位数	中位数	上四分位数
动作片	$121$	$b$	$138$
喜剧片	$a$	$117$	$c$

(b) 求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

(i) 平均片长；

(ii) 片长的标准差。

（可使用 $\sum x=4016$ 和 $\sum x^2=525056$ ，其中 $x$ 表示一部动作片的片长，单位为分钟。）

一种偏度度量为

\frac{\text{平均数}-\text{众数}}{\text{标准差}}.

(d) 计算这一度量，并描述这些动作片片长的偏态。

(e) 评论动作片片长分布与喜剧片片长分布之间的一个差异，并写出支持该评论所用统计量的数值。

解答

(a)

解法一

思路

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众数就是出现次数最多的数据。Action films 的叶子在 $13$ stem 里有三个 $7$ ，所以 $137$ 出现最多。

答题过程

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The modal running time for the Action films is

\begin{align*} 137\text{ minutes}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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每组有 $31$ 个数据。中位数是第 $16$ 个数，下四分位数是前 $15$ 个数的中位数，也就是第 $8$ 个数；上四分位数是后 $15$ 个数的中位数，也就是第 $24$ 个数。

答题过程

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For $31$ values,

\begin{align*} Q_1:&\,8\text{th value},\\ Q_2:&\,16\text{th value},\\ Q_3:&\,24\text{th value}. \end{align*}

Reading from the stem and leaf diagram:

\begin{align*} a=106,\qquad b=129,\qquad c=126. \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

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平均数直接用 $\sum x/n$ 。

答题过程

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The mean is

\begin{align*} \bar{x} =&\,\frac{4016}{31}\\ =&\,129.548\ldots. \end{align*}

So the mean is

\begin{align*} 129.5\text{ minutes} \end{align*}

to $1$ decimal place.

(c)(ii)

解法一

思路

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把这 $31$ 部动作片视为完整数据集，使用总体标准差公式。

答题过程

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The standard deviation is

\begin{align*} v=&\,\frac{525056}{31}-\Big(\frac{4016}{31}\Big)^2\\ =&\,154.5057\ldots,\\ s=&\,\sqrt{v}=12.430\ldots. \end{align*}

So the standard deviation is

\begin{align*} 12.4\text{ minutes} \end{align*}

to $1$ decimal place.

解法二

思路

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也可以使用样本标准差。先求总体方差，再乘以 $\dfrac{31}{30}$ 作 Bessel 校正。

答题过程

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First calculate the population variance,

\begin{align*} v =&\,\frac{525056}{31} -\Big(\frac{4016}{31}\Big)^2\\ =&\,154.5057\ldots. \end{align*}

Using the sample standard deviation,

\begin{align*} s =&\,\sqrt{\frac{31}{30}v}\\ =&\,12.6355\ldots. \end{align*}

Therefore the sample standard deviation is

\begin{align*} 12.6\text{ minutes} \end{align*}

to $1$ decimal place.

(d)

解法一

思路

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把上一小题的平均数和标准差，以及 (a) 的众数代入公式。结果为负，说明是负偏态。

答题过程

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Using the measure of skewness,

\begin{align*} \text{skewness} =&\,\frac{129.5-137}{12.4}\\ =&\,-0.604\ldots. \end{align*}

The measure of skewness is approximately

\begin{align*} -0.6. \end{align*}

Therefore the distribution of the Action film running times is negatively skewed.

(e)

解法一

思路

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这题只要评论一个差异，并且用明确统计量支持。最直接比较中位数：Action 的中位数比 Comedy 大，所以 Action films 一般更长。

答题过程

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On average, Action films have longer running times than Comedy films, since the median running time for Action films is

\begin{align*} 129\text{ minutes} \end{align*}

whereas the median running time for Comedy films is

\begin{align*} 117\text{ minutes}. \end{align*}

S1 2024 Oct Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程