CalcGospel 國際數學圖譜
返回

S1 2024 Oct Q2

A Level / Edexcel / S1

IAL 2024 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

A biologist records the length, yy cm, and the weight, ww kg, of 5050 rabbits.

The following summary statistics are calculated from these data.

∑y=2015,∑y2=81938.5,∑w=125,\sum y=2015,\quad \sum y^2=81938.5,\quad \sum w=125, Sww=72.25,Syw=219.55.S_{ww}=72.25,\qquad S_{yw}=219.55.

(a) (i) Show that Syy=734S_{yy}=734.

(ii) Calculate the product moment correlation coefficient for these data. Give your answer to 33 decimal places.

(3)

(b) Interpret your value of the product moment correlation coefficient.

(1)

The biologist believes that a linear regression model may be appropriate to describe these data.

(c) State, with a reason, whether or not your value of the product moment correlation coefficient is consistent with the biologist’s belief.

(1)

(d) Find the equation of the regression line of ww on yy, giving your answer in the form w=a+byw=a+by.

(4)

Jeff has a pet rabbit of length 4545 cm.

(e) Use your regression equation to estimate the weight of Jeff’s rabbit.

(2)
题目中文翻译

一名生物学家记录了 5050 只兔子的身长 yy cm 和体重 ww kg，得到以下汇总统计量：

∑y=2015,∑y2=81938.5,∑w=125,\sum y=2015,\quad \sum y^2=81938.5,\quad \sum w=125, Sww=72.25,Syw=219.55.S_{ww}=72.25,\qquad S_{yw}=219.55.

(a) (i) 证明 Syy=734S_{yy}=734。

(ii) 计算这些数据的积矩相关系数，答案精确到小数点后 33 位。

(b) 结合题目情境解释积矩相关系数。

(c) 说明积矩相关系数的值是否支持使用线性回归模型，并给出理由。

(d) 求 ww 关于 yy 的回归直线方程，答案写成 w=a+byw=a+by 的形式。

Jeff 有一只身长为 4545 cm 的宠物兔。

(e) 使用你的回归方程估计 Jeff 的兔子的体重。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

用

Syy=∑y2−(∑y)2n.\begin{align*} S_{yy}=\sum y^2-\frac{(\sum y)^2}{n}. \end{align*}

题目要求 show that，所以要写出代入式和计算结果。

答题过程

展开 Syy= ∑y2−(∑y)2n= 81938.5−2015250= 81938.5−81204.5= 734.\begin{align*} S_{yy} =&\,\sum y^2-\frac{(\sum y)^2}{n}\\ =&\,81938.5-\frac{2015^2}{50}\\ =&\,81938.5-81204.5\\ =&\,734. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

PMCC 的公式是

r=SywSyySww.\begin{align*} r=\frac{S_{yw}}{\sqrt{S_{yy}S_{ww}}}. \end{align*}

答题过程

展开 r= SywSyySww= 219.55734(72.25)= 0.95338….\begin{align*} r =&\,\frac{S_{yw}}{\sqrt{S_{yy}S_{ww}}}\\ =&\,\frac{219.55}{\sqrt{734(72.25)}}\\ =&\,0.95338\ldots. \end{align*}

So, to 33 decimal places,

r=0.953.\begin{align*} r=0.953. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

rr 接近 11，表示长度和重量之间有强正相关。解释时要放回语境：兔子越长，通常越重。

答题过程

展开

There is a strong positive correlation between length and weight. In general, the longer the rabbit, the greater its weight.

(c)

解法一

思路

展开

r=0.953r=0.953 很接近 11，说明数据点应当相当接近一条正斜率直线，所以适合线性回归模型。

答题过程

展开

Yes. The value of rr is close to 11, so the data are consistent with a linear regression model.

(d)

解法一

思路

展开

回归线 w=a+byw=a+by 中，

b=SywSyy.\begin{align*} b=\frac{S_{yw}}{S_{yy}}. \end{align*}

然后用均值点 (yˉ,wˉ)(\bar{y},\bar{w}) 在回归线上，求截距 aa。

答题过程

展开

The gradient of the regression line of ww on yy is

b= SywSyy= 219.55734= 0.29911….\begin{align*} b =&\,\frac{S_{yw}}{S_{yy}}\\ =&\,\frac{219.55}{734}\\ =&\,0.29911\ldots. \end{align*}

Also,

yˉ= 201550=40.3,wˉ= 12550=2.5.\begin{align*} \bar{y}=&\,\frac{2015}{50}=40.3,\\ \bar{w}=&\,\frac{125}{50}=2.5. \end{align*}

Using a=wˉ−byˉa=\bar{w}-b\bar{y},

a= 2.5−(0.29911…)(40.3)= −9.554….\begin{align*} a =&\,2.5-(0.29911\ldots)(40.3)\\ =&\,-9.554\ldots. \end{align*}

Therefore the regression equation is

w=−9.55+0.299y.\begin{align*} w=-9.55+0.299y. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

把 Jeff 的长度 y=45y=45 代入上一小题的回归方程。

答题过程

展开

When y=45y=45,

w= −9.55+0.299(45)= 3.905.\begin{align*} w =&\,-9.55+0.299(45)\\ =&\,3.905. \end{align*}

The estimated weight of Jeff is

3.91 kg.\begin{align*} 3.91\text{ kg}. \end{align*}