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S1 2024 Oct Q4

A Level / Edexcel / S1

IAL 2024 Oct Paper · Question 4

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

The distances, mm miles, a motorbike travels on a full tank of petrol can be modelled by a normal distribution with mean 170170 miles and standard deviation 1616 miles.

(a) Find the probability that, on a randomly selected journey, the motorbike could travel at least 190190 miles on a full tank of petrol.

(2)

The probability that, on a randomly selected journey, the motorbike could travel at least dd miles on a full tank of petrol is 0.90.9.

(b) Find the value of dd.

(3)
题目中文翻译

本题必须写出计算的所有步骤。完全依赖计算器技术的解答不予接受。

一辆摩托车加满一箱汽油后能够行驶的距离 mm 英里，可用均值为 170170 英里、标准差为 1616 英里的正态分布建模。

(a) 求在一次随机选取的行程中，这辆摩托车加满一箱汽油后至少能行驶 190190 英里的概率。

在一次随机选取的行程中，这辆摩托车加满一箱汽油后至少能行驶 dd 英里的概率为 0.90.9。

(b) 求 dd 的值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

设 XX 表示满油可行驶距离，则 X∼N(170,162)X\sim N(170,16^2)。先标准化 190190，再查标准正态表。

答题过程

展开

Let

X∼N(170,162).\begin{align*} X\sim N(170,16^2). \end{align*}

Then

P(X⩾190)= P(Z⩾190−17016)= P(Z⩾1.25).\begin{align*} P(X\geqslant190) =&\,P\Big(Z\geqslant\frac{190-170}{16}\Big)\\ =&\,P(Z\geqslant1.25). \end{align*}

Using the standard normal distribution table,

P(Z⩾1.25)= 1−P(Z<1.25)= 1−0.8944= 0.1056.\begin{align*} P(Z\geqslant1.25) =&\,1-P(Z<1.25)\\ =&\,1-0.8944\\ =&\,0.1056. \end{align*}

Therefore

P(X⩾190)=0.106\begin{align*} P(X\geqslant190)=0.106 \end{align*}

to 33 significant figures.

(b)

解法一

思路

展开

P(X⩾d)=0.9P(X\geqslant d)=0.9 表示 dd 在平均数左边，而且左侧概率是 0.10.1。查标准正态表可得对应的 zz 值大约是 −1.2816-1.2816。

答题过程

展开

Since

P(X⩾d)=0.9,\begin{align*} P(X\geqslant d)=0.9, \end{align*}

we have

P(X<d)=0.1.\begin{align*} P(X<d)=0.1. \end{align*}

The corresponding standard normal value is

z=−1.2816.\begin{align*} z=-1.2816. \end{align*}

So

d−17016=−1.2816.\begin{align*} \frac{d-170}{16}=-1.2816. \end{align*}

Hence

d= 170−1.2816(16)= 149.4944.\begin{align*} d =&\,170-1.2816(16)\\ =&\,149.4944. \end{align*}

Therefore

d=149\begin{align*} d=149 \end{align*}

to 33 significant figures.