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S1 2024 Oct Q6

A Level / Edexcel / S1

IAL 2024 Oct Paper · Question 6

题目

Problem

A biased die with six faces is rolled. The discrete random variable XX represents the score which is uppermost. The cumulative distribution function of XX is shown in the table below.

xx112233445566
F(x)F(x)0.10.10.20.23k3k5k5k7k7k10k10k

(a) Find the value of the constant kk.

(1)

(b) Find the probability distribution of XX.

(3)

A biased die with eight faces is rolled. The discrete random variable YY represents the score which is uppermost. The probability distribution of YY is shown in the table below, where aa and bb are constants.

yy1122334455667788
P(Y=y)P(Y=y)aaaaaabbbbbb0.110.110.050.05

Given that E(Y)=4.02E(Y)=4.02

(c) form and solve two equations in aa and bb to show that a=0.15a=0.15. You must show your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(3)

(d) Show that E(Y2)=20.7E(Y^2)=20.7.

(2)

(e) Find Var⁡(5−2Y)\operatorname{Var}(5-2Y).

(3)

These dice are each rolled once. The scores on the two dice are independent.

(f) Find the probability that the sum of these two scores is 33.

(2)
题目中文翻译

掷一枚有偏的六面骰子，离散随机变量 XX 表示朝上一面的点数。XX 的累积分布函数如下表所示。

xx112233445566
F(x)F(x)0.10.10.20.23k3k5k5k7k7k10k10k

(a) 求常数 kk 的值。

(b) 求 XX 的概率分布。

再掷一枚有偏的八面骰子，离散随机变量 YY 表示朝上一面的点数。YY 的概率分布如下表所示，其中 aa 和 bb 为常数。

yy1122334455667788
P(Y=y)P(Y=y)aaaaaabbbbbb0.110.110.050.05

已知 E(Y)=4.02E(Y)=4.02。

(c) 建立并求解关于 aa 和 bb 的两个方程，以证明 a=0.15a=0.15。你必须写出计算过程；完全依赖计算器技术的解答不予接受。

(d) 证明 E(Y2)=20.7E(Y^2)=20.7。

(e) 求 Var⁡(5−2Y)\operatorname{Var}(5-2Y)。

两枚骰子各掷一次，所得点数相互独立。

(f) 求两枚骰子的点数之和为 33 的概率。

解答

(a)

解法一

思路

展开

CDF 最后一个值必须是 11，因为 P(X⩽6)=1P(X\leqslant6)=1。

答题过程

展开

Since XX can only take the values 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6,

F(6)=1.\begin{align*} F(6)=1. \end{align*}

So

10k=1\begin{align*} 10k=1 \end{align*}

and hence

k=0.1.\begin{align*} k=0.1. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

由 CDF 转成概率分布时，用相邻的累计概率相减：

P(X=x)=F(x)−F(x−1).\begin{align*} P(X=x)=F(x)-F(x-1). \end{align*}

这里先把 k=0.1k=0.1 代入。

答题过程

展开

Using k=0.1k=0.1, the cumulative probabilities are

0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 1.\begin{align*} 0.1,\ 0.2,\ 0.3,\ 0.5,\ 0.7,\ 1. \end{align*}

Therefore

x123456P(X=x)0.10.10.10.20.20.3\begin{array}{c|cccccc} x&1&2&3&4&5&6\\ \hline P(X=x)&0.1&0.1&0.1&0.2&0.2&0.3 \end{array}

(c)

解法一

思路

展开

第一条方程来自总概率等于 11。第二条方程来自期望 E(Y)=4.02E(Y)=4.02。再联立解出 aa 和 bb。

答题过程

展开

Since the probabilities sum to 11,

3a+3b+0.11+0.05= 13a+3b= 0.84.\begin{align*} 3a+3b+0.11+0.05=&\,1\\ 3a+3b=&\,0.84. \end{align*}

Using E(Y)=4.02E(Y)=4.02,

4.02= a+2a+3a+4b+5b+6b +7(0.11)+8(0.05)6a+15b+1.17= 4.026a+15b= 2.85.\begin{align*} 4.02 =&\,a+2a+3a+4b+5b+6b\\ &\,\hspace{2pt}+7(0.11)+8(0.05)\\ 6a+15b+1.17=&\,4.02\\ 6a+15b=&\,2.85. \end{align*}

From

3a+3b=0.84,\begin{align*} 3a+3b=0.84, \end{align*}

we get

6a+6b=1.68.\begin{align*} 6a+6b=1.68. \end{align*}

Subtracting this from 6a+15b=2.856a+15b=2.85,

9b= 1.17b= 0.13.\begin{align*} 9b=&\,1.17\\ b=&\,0.13. \end{align*}

Then

3a+3(0.13)= 0.843a= 0.45a= 0.15.\begin{align*} 3a+3(0.13)=&\,0.84\\ 3a=&\,0.45\\ a=&\,0.15. \end{align*}

So

a=0.15.\begin{align*} a=0.15. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

先由上一小题得到 a=0.15a=0.15，b=0.13b=0.13。然后用

E(Y2)=∑y2P(Y=y).\begin{align*} E(Y^2)=\sum y^2P(Y=y). \end{align*}

答题过程

展开

Using a=0.15a=0.15 and b=0.13b=0.13,

E(Y2)= 12(0.15)+22(0.15)+32(0.15) +42(0.13)+52(0.13)+62(0.13) +72(0.11)+82(0.05)= 0.15+0.60+1.35 +2.08+3.25+4.68 +5.39+3.20= 20.7.\begin{align*} E(Y^2) =&\,1^2(0.15)+2^2(0.15)+3^2(0.15)\\ &\,\hspace{2pt}+4^2(0.13)+5^2(0.13)+6^2(0.13)\\ &\,\hspace{4pt}+7^2(0.11)+8^2(0.05)\\ =&\,0.15+0.60+1.35\\ &\,\hspace{2pt}+2.08+3.25+4.68\\ &\,\hspace{4pt}+5.39+3.20\\ =&\,20.7. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

先求 Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y)。线性变换的方差公式是

Var⁡(a+bY)=b2Var⁡(Y).\begin{align*} \operatorname{Var}(a+bY)=b^2\operatorname{Var}(Y). \end{align*}

所以 Var⁡(5−2Y)=4Var⁡(Y)\operatorname{Var}(5-2Y)=4\operatorname{Var}(Y)。

答题过程

展开

First,

Var⁡(Y)= E(Y2)−[E(Y)]2= 20.7−(4.02)2= 4.5396.\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&\,E(Y^2)-[E(Y)]^2\\ =&\,20.7-(4.02)^2\\ =&\,4.5396. \end{align*}

Therefore

Var⁡(5−2Y)= (−2)2Var⁡(Y)= 4(4.5396)= 18.1584.\begin{align*} \operatorname{Var}(5-2Y) =&\,(-2)^2\operatorname{Var}(Y)\\ =&\,4(4.5396)\\ =&\,18.1584. \end{align*}

So

Var⁡(5−2Y)=18.2\begin{align*} \operatorname{Var}(5-2Y)=18.2 \end{align*}

to 33 significant figures.

解法二

思路

展开

令 W=5−2YW=5-2Y，直接用 Var⁡(W)=E(W2)−[E(W)]2\operatorname{Var}(W)=E(W^2)-[E(W)]^2，并展开 W2W^2。

答题过程

展开

Let W=5−2YW=5-2Y. Then

E(W)= 5−2E(Y)=−3.04,\begin{align*} E(W)=&\,5-2E(Y)=-3.04, \end{align*}

and

E(W2)= E(25−20Y+4Y2)= 25−20(4.02)+4(20.7)= 27.4.\begin{align*} E(W^2) =&\,E(25-20Y+4Y^2)\\ =&\,25-20(4.02)+4(20.7)\\ =&\,27.4. \end{align*}

Hence

Var⁡(5−2Y)= E(W2)−[E(W)]2= 27.4−(−3.04)2= 18.1584≈ 18.2.\begin{align*} \operatorname{Var}(5-2Y) =&\,E(W^2)-[E(W)]^2\\ =&\,27.4-(-3.04)^2\\ =&\,18.1584\\ \approx&\,18.2. \end{align*}

(f)

解法一

思路

展开

两个骰子的和为 33，只有两种情况：

(X,Y)=(1,2)or(2,1).\begin{align*} (X,Y)=(1,2)\quad\text{or}\quad (2,1). \end{align*}

两次掷骰独立，所以概率相乘后相加。

答题过程

展开

The possible pairs are

(X,Y)=(1,2)or(2,1).\begin{align*} (X,Y)=(1,2)\quad\text{or}\quad (2,1). \end{align*}

Since the scores are independent,

P(X+Y=3)= P(X=1)P(Y=2) +P(X=2)P(Y=1)= 0.1(0.15)+0.1(0.15)= 0.03.\begin{align*} P(X+Y=3) =&\,P(X=1)P(Y=2)\\ &\,\hspace{2pt}+P(X=2)P(Y=1)\\ =&\,0.1(0.15)+0.1(0.15)\\ =&\,0.03. \end{align*}