离散随机变量 $X$ 的概率分布如上表所示。

(a) 求 $F(3.5)$。（1 分）

(b) 求 $P(3X-3<X+2)$。（2 分）

(c) 求 $E(X)$。（2 分）

(d) 证明 $\operatorname{Var}(X)=1.1275$。（3 分）

(e) 求 $\operatorname{Var}(5-2X)$。（1 分）

$F(3.5)$ 表示 $P(X\leqslant 3.5)$。因为 $X$ 只能取 $1,2,3,4$，所以要把 $1,2,3$ 的概率相加。

Since $X$ is discrete,

先把不等式化成关于 $X$ 的范围，再从概率表中选出满足条件的 $x$ 值。

Solve the inequality first:

Therefore the possible values are $X=1$ and $X=2$.

离散型随机变量的期望用

也就是每个取值乘以对应概率，再全部相加。

要证明方差，先算 $E(X^2)$，再用

上一小题已经得到 $E(X)=2.35$，这里可以直接承接。

First find $E(X^2)$:

Using $E(X)=2.35$,

Therefore

也可用方差定义，将每个取值与均值 $2.35$ 之差的平方乘以对应概率，再相加。

From part (c), the expectation is $E(X) = 2.35$.

Using the definition of variance $\operatorname{Var}(X) = \sum (x - E(X))^2 P(X=x)$:

Therefore, $\operatorname{Var}(X) = 1.1275$.

方差的线性变换规则是

常数 $5$ 不影响方差，系数 $-2$ 会让方差乘以 $(-2)^2=4$。