A 班和 B 班学生参加一次统计测试。A 班有 $24$ 人，B 班有 $30$ 人，各班分数 $x$ 的汇总统计量如上表所示。

两班合并为 $54$ 人的一组，总体平均分为 $45$。

(a) 证明 $b=43.4$。（2 分）

(b) 求全部 $54$ 人分数的标准差。（2 分）

调整评分后，B 班每位学生的分数增加 $2$ 分。

(c) 不作进一步计算，分别说明这一变化对以下各项的影响，并各给出理由：

(i) B 班分数的方差；(ii) 全部 $54$ 人的平均分；(iii) 全部 $54$ 人分数的标准差。（共 3 分）

总平均数是总分除以总人数。先用总平均数求出两班总分，再减去 A 班总分，得到 B 班总分，最后除以 $30$。

The total mark for all $54$ students is

The total mark for class A is

So the total mark for class B is

Therefore

Hence $b=43.4$.

合并后的标准差用

这里 $\sum x^2$ 要把两个班的 $\sum x^2$ 相加，$\bar{x}=45$，$n=54$。

For all $54$ students,

Therefore

So the standard deviation is

to $3$ significant figures.

也可以使用分母为 $n-1$ 的样本标准差，得到 $24.3$。先求合并数据的 $S_{xx}$，再除以 $53$ 并开平方。

For all $54$ students, $\sum x=2430$ and $\sum x^2=140702$.

The sample standard deviation is

给 B 班每个人都加 $2$，不会改变 B 班内部的离散程度，所以 B 班方差不变。整体平均数一定增加，因为总分增加。整体标准差会减小，因为 B 班原本均值 $43.4$ 低于 A 班均值 $47$，加 $2$ 后变成 $45.4$，两班均值更接近。

(i) The variance of class B remains unchanged.

Adding $2$ to every mark in class B does not change the spread of the marks.

(ii) The mean mark for all $54$ students increases.

The total mark increases because each of the $30$ students in class B gains $2$ marks.

(iii) The standard deviation of the marks for all $54$ students decreases.

The mean mark of class B becomes closer to the mean mark of class A, so the marks are less spread out overall.