题目

Problem

Two events $C$ and $D$ are such that

\begin{align*} P(C\cup D)=&\,0.59,\\ P(D)=&\,0.45,\\ P(C\mid D)=&\,0.2. \end{align*}

Find the value of

(a) $P(C\cap D)$

(2)

(b) $P(C)$

(2)

题目中文翻译

事件 $C$ 、 $D$ 满足 $P(C\cup D)=0.59$ 、 $P(D)=0.45$ 、 $P(C\mid D)=0.2$ 。

求：(a) $P(C\cap D)$ （2 分）；(b) $P(C)$ （2 分）。

解答

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条件概率公式是

\begin{align*} P(C\mid D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}. \end{align*}

题目给了 $P(C\mid D)$ 和 $P(D)$ ，所以直接代入求交集概率。

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Using conditional probability,

\begin{align*} P(C\mid D) =&\,\frac{P(C\cap D)}{P(D)}. \end{align*}

Substitute the given values:

\begin{align*} 0.2 =&\,\frac{P(C\cap D)}{0.45}\\ P(C\cap D) =&\,0.2(0.45)\\ =&\,0.09. \end{align*}

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两个事件的并集公式是

\begin{align*} P(C\cup D)=P(C)+P(D)-P(C\cap D). \end{align*}

把 (a) 的结果代入即可。

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Using

\begin{align*} P(C\cup D)=P(C)+P(D)-P(C\cap D), \end{align*}

we have

\begin{align*} 0.59 =&\,P(C)+0.45-0.09\\ P(C) =&\,0.59-0.45+0.09\\ =&\,0.23. \end{align*}