题目

Problem

The following grouped frequency distribution summarises the speeds in km/h that a random sample of $225$ cars were doing on a road.

Speed ( $x$ km/h)	Number of cars
$20\leqslant x<25$	$54$
$25\leqslant x<30$	$90$
$30\leqslant x<40$	$60$
$40\leqslant x<55$	$15$
$55\leqslant x<70$	$6$

A histogram is drawn to represent these data. The height of the tallest bar is $10$ cm.

(a) Calculate the height of the second tallest bar.

(3)

(b) Estimate how many of the $225$ cars were doing a speed between $35$ km/h and $57$ km/h. You must show your working clearly.

(2)

The lower quartile for these data is $25.14$ km/h to $4$ significant figures.

(d) Find an estimate for

(i) the upper quartile,

(ii) the interquartile range.

(4)

(e) Describe, giving a reason, the skewness of these data.

(2)

Ali suggests that a normal distribution is a suitable model for the speed that cars were doing on this road.

(f) With reference to your answer in part (e), comment on Ali’s suggestion, giving a reason for your answer.

(1)

题目中文翻译

上方分组频数表汇总了从某条道路随机抽取的 $225$ 辆车的速度，单位为 km/h。

根据这些数据绘制直方图，最高柱的高度为 $10$ cm。

(a) 求第二高柱的高度。（3 分）

(b) 估计这 $225$ 辆车中速度在 $35$ km/h 与 $57$ km/h 之间的车辆数，必须清楚写出计算过程。（2 分）

这些数据的下四分位数为 $25.14$ km/h，精确到 4 位有效数字。

(d) 估计：(i) 上四分位数；(ii) 四分位距。（共 4 分）

(e) 描述这些数据的偏态，并给出理由。（2 分）

Ali 认为正态分布是这条道路车辆速度的合适模型。

(f) 参照 (e) 的答案，评价 Ali 的建议，并给出理由。（1 分）

解答

(a)

解法一

思路

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直方图高度与 frequency density 成正比。先算每组的 frequency density：频数除以组宽。最高的是 $25\leqslant x<30$ ，第二高的是 $20\leqslant x<25$ 。最高 bar 高 $10$ cm，用比例求第二高 bar。

答题过程

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The frequency densities are:

Speed interval	Frequency density
$20\leqslant x<25$	$\dfrac{54}{5}=10.8$
$25\leqslant x<30$	$\dfrac{90}{5}=18$
$30\leqslant x<40$	$\dfrac{60}{10}=6$
$40\leqslant x<55$	$\dfrac{15}{15}=1$
$55\leqslant x<70$	$\dfrac{6}{15}=0.4$

The tallest bar has frequency density $18$ and height $10$ cm.

The second tallest bar has frequency density $10.8$ .

Let its height be $h$ cm. Then

\begin{align*} \frac{h}{10} =&\,\frac{10.8}{18}\\ h=&\,10\times\frac{10.8}{18}\\ =&\,6. \end{align*}

The height of the second tallest bar is

\begin{align*} 6\text{ cm}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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$35$ 到 $57$ 横跨三段：

$35$ 到 $40$ 是 $30\leqslant x<40$ 这一组的一半，所以取 $60$ 的一半；
$40$ 到 $55$ 整组都包含，取 $15$ ；
$55$ 到 $57$ 是 $55\leqslant x<70$ 这一组的 $\dfrac{2}{15}$ ，所以取 $6$ 的 $\dfrac{2}{15}$ 。

答题过程

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Between $35$ and $40$ :

\begin{align*} \frac{5}{10}\times60=30. \end{align*}

Between $40$ and $55$ :

\begin{align*} 15. \end{align*}

Between $55$ and $57$ :

\begin{align*} \frac{2}{15}\times6=0.8. \end{align*}

Therefore the estimated number of cars is

\begin{align*} 30+15+0.8=&\,45.8. \end{align*}

Since this is a number of cars, the estimate is

\begin{align*} 46. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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主路线用第 $225/2=112.5$ 个位置插值。前两组累计频数为 $54$ 、 $144$ ，所以中位数在 $25\leqslant x<30$ 组内。

答题过程

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The median position is

\begin{align*} \frac{225}{2}=112.5. \end{align*}

The cumulative frequency before the class $25\leqslant x<30$ is $54$ , and the frequency in this class is $90$ .

Using linear interpolation,

\begin{align*} Q_2 =&\,25+\frac{112.5-54}{90}\times5\\ =&\,25+\frac{58.5}{90}\times5\\ =&\,28.25. \end{align*}

The estimated median speed is

\begin{align*} 28.3\text{ km/h} \end{align*}

to $3$ significant figures.

解法二

思路

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也可以使用第 $(225+1)/2=113$ 个位置；同样在第二组插值。

答题过程

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Using the $113$ th position,

\begin{align*} Q_2=&\,25+\frac{113-54}{90}\times5\\ =&\,28.277777\ldots\\ =&\,28.3\text{ km/h}\quad(3\text{ s.f.}). \end{align*}

(d)(i)

解法一

思路

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上四分位数的位置是 $\dfrac{3}{4}\times225=168.75$ 。累计频数到 $30$ 前是 $144$ ，到 $40$ 是 $204$ ，所以 $Q_3$ 在 $30\leqslant x<40$ 组内。

答题过程

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The upper quartile position is

\begin{align*} \frac{3}{4}\times225=168.75. \end{align*}

This lies in the class $30\leqslant x<40$ .

Using linear interpolation,

\begin{align*} Q_3 =&\,30+\frac{168.75-144}{60}\times10\\ =&\,30+\frac{24.75}{60}\times10\\ =&\,34.125. \end{align*}

\begin{align*} Q_3=34.1\text{ km/h} \end{align*}

to $3$ significant figures.

解法二

思路

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上四分位数的另一常见插值约定，可将位置取在 $168.75$ 至 $169.5$ 之间。下面以 $3(225+1)/4=169.5$ 为例。

答题过程

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Using the $169.5$ th position,

\begin{align*} Q_3=&\,30+\frac{169.5-144}{60}\times10\\ =&\,34.25\\ =&\,34.3\text{ km/h}\quad(3\text{ s.f.}). \end{align*}

(d)(ii)

解法一

思路

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四分位距是

\begin{align*} Q_3-Q_1. \end{align*}

题目给了 $Q_1=25.14$ ，上一小题求出 $Q_3=34.125$ 。

答题过程

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\begin{align*} \text{IQR} =&\,Q_3-Q_1\\ =&\,34.125-25.14\\ =&\,8.985. \end{align*}

So the interquartile range is

\begin{align*} 8.99\text{ km/h} \end{align*}

to $3$ significant figures.

解法二

思路

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若承接 (d)(i) 的第二解法，使用未舍入的 $Q_3=34.25$ 。

答题过程

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Using $Q_3=34.25$ from the alternative method,

\begin{align*} \text{IQR}=&\,34.25-25.14\\ =&\,9.11\text{ km/h}\quad(3\text{ s.f.}). \end{align*}

(e)

解法一

思路

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用四分位数判断 skewness：比较 $Q_2-Q_1$ 和 $Q_3-Q_2$ 。如果右边距离更大，右尾更长，就是 positive skew。

答题过程

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Using

\begin{align*} Q_1=25.14,\qquad Q_2=28.25,\qquad Q_3=34.125, \end{align*}

we have

\begin{align*} Q_2-Q_1 =&\,28.25-25.14\\ =&\,3.11, \end{align*}

and

\begin{align*} Q_3-Q_2 =&\,34.125-28.25\\ =&\,5.875. \end{align*}

Since

\begin{align*} Q_2-Q_1<Q_3-Q_2, \end{align*}

the data are positively skewed.

解法二

思路

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也可以比较估计均值与中位数。先用各组中点求均值，再判断均值大于中位数，所以数据正偏。

答题过程

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Using class midpoints,

\begin{align*} \sum fx=&\,54(22.5)+90(27.5)\\ &\,\hspace{2pt}+60(35)+15(47.5)+6(62.5)\\ =&\,6877.5,\\ \bar{x}=&\,\frac{6877.5}{225}\\ =&\,30.566666\ldots. \end{align*}

Since the estimated mean $30.6$ km/h is greater than the estimated median $28.3$ km/h, the data are positively skewed.

(f)

解法一

思路

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Normal distribution 是对称的，但上一小题说明数据是 positively skewed，所以 normal distribution 不适合作为模型。

答题过程

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Ali’s suggestion is not suitable.

The data are positively skewed, so they are not symmetric, whereas a normal distribution is symmetric.

S1 2025 May Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(d)(i)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(d)(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(f)

解法一

思路

答题过程