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IAL 2018 Oct S2 Q4

A Level / Edexcel / S2

IAL 2018 Oct Paper · Question 4

题目

Problem

A bag contains a large number of marbles, each of which is blue or red.

A random sample of 3 marbles is taken from the bag.

The random variable DD represents the number of blue marbles taken minus the number of red marbles taken.

Given that 20% of the marbles in the bag are blue,

(a) show that P(D=−1)=0.384P(D=-1)=0.384

(2)

(b) find the sampling distribution of DD

(3)

(c) write down the mode of DD

(1)

Takashi claims that the true proportion of blue marbles is greater than 20% and tests his claim by selecting a random sample of 12 marbles from the bag.

(d) Find the critical region for this test at the 10% level of significance.

(2)

(e) State the actual significance level of this test.

(1)
题目中文翻译

一个袋子里有大量弹珠，每个弹珠要么是蓝色，要么是红色。

从袋中随机取出 3 个弹珠组成样本。

随机变量 DD 表示取出的蓝色弹珠数量减去取出的红色弹珠数量。

已知袋中 20% 的弹珠是蓝色。

(a) 证明 P(D=−1)=0.384P(D=-1)=0.384。

(b) 求 DD 的抽样分布。

(c) 写出 DD 的众数。

Takashi 认为蓝色弹珠的真实比例大于 20%，并通过从袋中随机抽取 12 个弹珠来检验他的说法。

(d) 求该检验在 10% 显著性水平下的临界域。

(e) 写出该检验的实际显著性水平。

解答

(a)

解法一

思路

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D=−1D=-1 表示蓝色弹珠比红色弹珠少 1 个。在抽取 3 个弹珠时，这只可能是 1 个蓝色、2 个红色；用二项分布计算这一组合的概率。

答题过程

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For D=−1D=-1, the sample must contain one blue marble and two red marbles. Therefore,

P(D=−1)= (31)(0.2)(0.8)2= 3(0.2)(0.8)2= 0.384.\begin{align*} P(D=-1) =&\,\binom31(0.2)(0.8)^2 \\ =&\,3(0.2)(0.8)^2 \\ =&\,\boxed{0.384}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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设样本中蓝色弹珠数为 BB，则红色弹珠数为 3−B3-B，所以 D=B−(3−B)=2B−3D=B-(3-B)=2B-3。依次取 B=0,1,2,3B=0,1,2,3，即可列出 DD 的所有可能值及相应二项概率。

答题过程

展开

Let BB be the number of blue marbles selected. Then

B∼B(3,0.2)andD=B−(3−B)=2B−3.B\sim B(3,0.2) \qquad\text{and}\qquad D=B-(3-B)=2B-3.

Hence the sampling distribution of DD is

d−3−113P(D=d)0.5120.3840.0960.008\begin{array}{c|cccc} d&-3&-1&1&3\\ \hline P(D=d)&0.512&0.384&0.096&0.008 \end{array}

where, for example,

P(D=1)=(32)(0.2)2(0.8)=0.096.P(D=1)=\binom32(0.2)^2(0.8)=0.096.

(c)

解法一

思路

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众数是概率最大的取值。比较 (b) 表格中的四个概率即可直接读出。

答题过程

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The greatest probability is 0.5120.512, which occurs when D=−3D=-3. Therefore, the mode of DD is

−3.\boxed{-3}.

(d)

解法一

思路

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在原假设 p=0.2p=0.2 下，12 个弹珠中的蓝色弹珠数服从二项分布。由于备择假设是 p>0.2p>0.2，临界域在上尾；寻找使上尾概率首次不超过 0.10 的最小整数边界，并同时检查前一个边界，确认临界域尽可能大。

答题过程

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Let XX be the number of blue marbles in the sample of 12. Under H0H_0,

X∼B(12,0.2).X\sim B(12,0.2).

Since the alternative hypothesis is p>0.2p>0.2, this is an upper-tailed test. Now,

P(X⩾5)= 1−P(X⩽4)= 1−0.9274= 0.0726<0.10,\begin{align*} P(X\geqslant5)=&\,1-P(X\leqslant4) \\ =&\,1-0.9274 \\ =&\,0.0726<0.10, \end{align*}

whereas

P(X⩾4)= 1−P(X⩽3)= 1−0.7946= 0.2054>0.10.\begin{align*} P(X\geqslant4)=&\,1-P(X\leqslant3) \\ =&\,1-0.7946 \\ =&\,0.2054>0.10. \end{align*}

Therefore, the critical region is

X⩾5.\boxed{X\geqslant5}.

(e)

解法一

思路

展开

实际显著性水平是在原假设成立时落入临界域的概率，直接使用 (d) 已求得的上尾概率。

答题过程

展开

The actual significance level is

P(X⩾5)=0.0726,P(X\geqslant5)=\boxed{0.0726},

or 7.26%7.26\%.