题目

Problem

The random variable $X$ has cumulative distribution function given by

\begin{align*} &\,F(x)\\ =&\, \begin{cases} 0,\quad x<0,\\[2mm] \begin{gathered}\dfrac{ax^3+bx^2+15x}{100},\\0\leq x\leq5,\end{gathered}\\[3mm] 1,\quad x>5. \end{cases} \end{align*}

Given that $E(X^2)=6.25$

(a) show that $6a+b=0$

(5)

(b) find the value of $a$ and the value of $b$

(4)

(2)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的累积分布函数为

\begin{align*} &\,F(x)\\ =&\, \begin{cases} 0,\quad x<0,\\[2mm] \begin{gathered}\dfrac{ax^3+bx^2+15x}{100},\\0\leq x\leq5,\end{gathered}\\[3mm] 1,\quad x>5. \end{cases} \end{align*}

已知 $E(X^2)=6.25$ 。

(a) 证明 $6a+b=0$ 。

(5)

(b) 求 $a$ 的值和 $b$ 的值。

(4)

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先对累积分布函数求导，得到 $0<x<5$ 上的概率密度函数。再将 $x^2f(x)$ 在支持区间 $[0,5]$ 上积分，得到 $E(X^2)$ ；代入已知期望，化简即可得到所需关系式。

答题过程

展开

For $0<x<5$ ,

\begin{align*} &\,f(x)\\ =&\,F'(x)\\ =&\,\frac1{100}(3ax^2+2bx+15). \end{align*}

Hence,

\begin{align*} &\,E(X^2)\\ =&\,\int_0^5x^2f(x)\,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac1{100}\int_0^5 \big(3ax^4+2bx^3\\ &\,\hspace{2pt}+15x^2\big)\,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac1{100} \big[\frac{3a}{5}x^5+\frac b2x^4\\ &\,\hspace{2pt}+5x^3\big]_0^5 \\ =&\,6.25. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,\frac{1875a+312.5b+625}{100}\\ =&\,6.25. \end{align*}

Multiplying by 100 and subtracting 625 gives

1875a+312.5b=0.

Dividing by $312.5$ ,

6a+b=\boxed{0}.

(b)

解法一

思路

展开

累积分布函数在支持区间右端点必须达到 1，因此令 $F(5)=1$ ，得到关于 $a,b$ 的第二个方程。再与 (a) 的 $6a+b=0$ 联立求解。

答题过程

展开

Since $F(5)=1$ ,

\begin{align*} &\,\frac1{100}\big(125a+25b+75\big)\\ =&\,1,\\ &\,5a+b=1. \end{align*}

Solving this simultaneously with $6a+b=0$ gives

\begin{align*} a=&\,-1, \\ b=&\,6. \end{align*}

Therefore,

\boxed{a=-1,\qquad b=6}.

(c)

解法一

思路

展开

由于 $X$ 的取值不超过 5，条件 $3\leqslant X\leqslant7$ 等价于 $3\leqslant X\leqslant5$ 。连续型随机变量在单点的概率为 0，因此可用 $1-F(3)$ 计算。

答题过程

展开

Since $X\leqslant5$ ,

\begin{align*} &\,P(3\leqslant X\leqslant7)\\ =&\,1-F(3) \\ =&\,1-\frac1{100} \big[-3^3+6(3^2)\\ &\,\hspace{2pt}+15(3)\big] \\ =&\,1-0.72 \\ =&\,\boxed{0.28}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以把 (b) 的 $a=-1,b=6$ 代回密度函数，再在实际可取的区间 $[3,5]$ 上直接积分。

答题过程

展开

Using $a=-1$ and $b=6$ , for $0<x<5$ ,

\begin{align*} &\,f(x)\\ =&\,\frac1{100}(-3x^2+12x+15). \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,P(3\leqslant X\leqslant7)\\ =&\,\int_3^5f(x)\,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac1{100} \big[-x^3+6x^2\\ &\,\hspace{2pt}+15x\big]_3^5 \\ =&\,\frac{100-72}{100} \\ =&\,\boxed{0.28}. \end{align*}

S2 2018 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程