题目

Problem

One side of a square is measured to the nearest centimetre and this measurement is multiplied by 4 to estimate the perimeter of the square. The random variable, $W$ cm, represents the estimated perimeter of the square minus the true perimeter of the square.

$W$ is uniformly distributed over the interval $[a,b]$ .

(a) Explain why $a=-2$ and $b=2$

(1)

The standard deviation of $W$ is $\sigma$ .

(b) (i) Find $\sigma$

(ii) Find the probability that the estimated perimeter of the square is within $\sigma$ of the true perimeter of the square.

(4)

One side of each of 100 squares are now measured. Using a suitable approximation,

(4)

(Total for Question 6 is 9 marks)

题目中文翻译

将正方形的一条边长测量到最接近的厘米，再把测量结果乘以 4，以估算正方形的周长。随机变量 $W$ cm 表示正方形的估计周长减去真实周长。

$W$ 在区间 $[a,b]$ 上服从均匀分布。

(a) 解释为什么 $a=-2$ 且 $b=2$ 。

$W$ 的标准差为 $\sigma$ 。

(b) (i) 求 $\sigma$ 。

(ii) 求正方形的估计周长与真实周长之差不超过 $\sigma$ 的概率。

现在测量 100 个正方形各自的一条边。使用适当的近似，

（第 6 题共 9 分）

解答

(a)

解法一

思路

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边长测量到最接近的厘米，表示测量误差介于 $-0.5$ cm 与 $0.5$ cm 之间。估计周长把边长乘以 4，因此周长估计误差也乘以 4，并且既可能低估也可能高估。

答题过程

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The error in measuring one side lies between $-0.5$ cm and $0.5$ cm. Since the measured side is multiplied by 4, the error in the estimated perimeter lies between

4(-0.5)=-2

and

4(0.5)=2.

Therefore,

\boxed{a=-2,\qquad b=2}.

(b)(i)

解法一

思路

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区间 $[a,b]$ 上均匀分布的方差为 $(b-a)^2/12$ 。代入 $a=-2$ 、 $b=2$ 后开平方，得到标准差。

答题过程

展开

\begin{align*} \sigma=&\, \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}\\ =&\, \sqrt{\frac{\big(2-(-2)\big)^2}{12}}\\ =&\, \frac{2\sqrt{3}}{3}\\ \approx&\, \boxed{1.15}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

“估计周长在真实周长的一个标准差以内”等价于 $-\sigma<W<\sigma$ 。均匀分布的概率等于目标区间长度除以总区间长度。

答题过程

展开

\begin{align*} P(-\sigma<W<\sigma) =&\, \frac{\sigma-(-\sigma)}{2-(-2)}\\ =&\, \frac{2\big(2\sqrt{3}/3\big)}{4}\\ =&\, \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \approx&\, \boxed{0.577}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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先由 $W$ 在 $[-2,2]$ 上均匀分布求一个正方形满足 $W>1.9$ 的概率。100 个正方形中满足条件的个数服从二项分布；由于试验次数较大且成功概率很小，使用均值为 $np$ 的泊松分布近似，再求至少 5 个的上尾概率。

答题过程

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For one square,

P(W>1.9)=\frac{2-1.9}{2-(-2)}=0.025.

Let $X$ be the number of the 100 squares for which $W>1.9$ . Then

X\sim B(100,0.025).

Since $n$ is large and $p$ is small,

X\approx Y, \qquad Y\sim\operatorname{Po}(100\times0.025) =\operatorname{Po}(2.5).

Therefore,

\begin{align*} P(X\geqslant 5) \approx&\, P(Y\geqslant 5)\\ =&\, 1-P(Y\leqslant 4)\\ =&\, 1-0.8912\\ =&\, 0.1088\\ \approx&\, \boxed{0.109}. \end{align*}

IAL 2018 Oct S2 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程