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S2 2019 Jan Q3

A Level / Edexcel / S2

IAL 2019 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

Figure 1 shows an accurate graph of the cumulative distribution function, F(x)F(x), for the continuous random variable XX

(a) Find P(3<X<7)P(3<X<7)

(2)

The probability density function of XX is given by

 f(x)= {a,2⩽x<4,b,4⩽x<6,c,6⩽x⩽8,0,otherwise,\begin{align*} &\,f(x)\\ =&\, \begin{cases} a, & 2\leqslant x<4, \\ b, & 4\leqslant x<6, \\ c, & 6\leqslant x\leqslant8, \\ 0, & \text{otherwise}, \end{cases} \end{align*}

where aa, bb and cc are constants.

(b) Find the value of aa, the value of bb and the value of cc

(3)

(c) Find E(X)E(X)

(3)

(Total for Question 3 is 8 marks)

题目中文翻译

图 1 给出了连续随机变量 XX 的累积分布函数 F(x)F(x) 的精确图像。

(a) 求 P(3<X<7)P(3<X<7)。

(2)

XX 的概率密度函数为

f(x)={a,2⩽x<4,b,4⩽x<6,c,6⩽x⩽8,0,其他情况,f(x)= \begin{cases} a, & 2\leqslant x<4, \\ b, & 4\leqslant x<6, \\ c, & 6\leqslant x\leqslant8, \\ 0, & \text{其他情况}, \end{cases}

其中 aa、bb 和 cc 为常数。

(b) 求 aa、bb 和 cc 的值。

(3)

(c) 求 E(X)E(X)。

(3)

（第 3 题共 8 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

对于连续随机变量，区间概率可由 CDF 两端的函数值相减。根据 Figure 1 读出 F(3)=0.2F(3)=0.2 与 F(7)=0.7F(7)=0.7。

答题过程

展开

From Figure 1,

F(3)=0.2,F(7)=0.7.\begin{gathered} F(3)=0.2,\\ F(7)=0.7. \end{gathered}

Therefore,

 P(3<X<7)= F(7)−F(3)= 0.7−0.2= 0.5.\begin{align*} &\,P(3<X<7)\\ =&\,F(7)-F(3) \\[4mm] =&\,0.7-0.2 \\[4mm] =&\,\boxed{0.5}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

概率密度函数是 CDF 的导数。Figure 1 在三个区间上都是直线，因此 a,b,ca,b,c 分别等于对应线段的斜率。

答题过程

展开

For 2⩽x<42\leqslant x<4, the gradient of FF is

a=0.4−04−2=0.2.a=\frac{0.4-0}{4-2}=0.2.

For 4⩽x<64\leqslant x<6, FF is constant, so

b=0.b=0.

For 6⩽x⩽86\leqslant x\leqslant8, the gradient is

c=1−0.48−6=0.3.c=\frac{1-0.4}{8-6}=0.3.

Hence,

a=0.2,b=0,c=0.3.\begin{gathered} \boxed{a=0.2},\\ \boxed{b=0},\\ \boxed{c=0.3}. \end{gathered}

(c)

解法一

思路

展开

使用连续随机变量的期望公式 E(X)=∫xf(x) dxE(X)=\int xf(x)\,\mathrm{d}x。由于中间一段密度为 0，只需计算区间 [2,4][2,4] 和 [6,8][6,8] 上的两个积分。

答题过程

展开

Using the values from part (b),

 E(X)= ∫240.2x dx +∫680.3x dx= [0.1x2]24 +[0.15x2]68= 1.2+4.2= 5.4.\begin{align*} &\,E(X)\\ =&\,\int_2^4 0.2x\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}+\int_6^8 0.3x\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\,\big[0.1x^2\big]_2^4\\ &\,\hspace{2pt}+\big[0.15x^2\big]_6^8 \\[4mm] =&\,1.2+4.2 \\[4mm] =&\,\boxed{5.4}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以使用分段加权法。[2,4][2,4] 段的概率质量为 2(0.2)=0.42(0.2)=0.4，条件均值是区间中点 3；[6,8][6,8] 段的概率质量为 2(0.3)=0.62(0.3)=0.6，条件均值是中点 7。

答题过程

展开

The probability masses on [2,4][2,4] and [6,8][6,8] are respectively

2(0.2)=0.4,2(0.3)=0.6.\begin{gathered} 2(0.2)=0.4,\\ 2(0.3)=0.6. \end{gathered}

The conditional means of the two uniform sections are 33 and 77. Therefore,

E(X)= 3(0.4)+7(0.6)= 5.4.\begin{align*} E(X) =&\,3(0.4)+7(0.6) \\[4mm] =&\,\boxed{5.4}. \end{align*}