连续随机变量 $X$ 在区间 $[a,b]$ 上服从均匀分布，其中 $0<a<b$。

已知 $P(X<b-2a)=\dfrac13$。

(a) (i) 证明 $E(X)=\dfrac{5a}{2}$。

(ii) 求 $P(X>b-4a)$。

连续随机变量 $Y$ 在区间 $[3,c]$ 上服从均匀分布，其中 $c>3$。

已知 $\operatorname{Var}(Y)=3c-9$，求

(b) (i) $c$ 的值；

(ii) $P(2Y-7<20-Y)$；

(iii) $E(Y^2)$。

（第 5 题共 13 分）

均匀分布在子区间上的概率等于子区间长度与总区间长度之比。先利用已知概率建立 $a,b$ 的关系，得到 $b=4a$，再代入均匀分布的期望公式。

Since $X$ is uniform on $[a,b]$,

Therefore,

Hence,

as required.

从补事件入手，界值右侧的概率为 $2/3$。右侧区间的长度恰为 $2a$，所以可用这个较短的长度建立方程，再求均值。

The probability to the right of $b-2a$ is

Since $X$ is uniformly distributed,

Therefore,

Hence,

承接 (a)(i) 的 $b=4a$，事件中的界值 $b-4a$ 等于 0。由于 $a>0$，随机变量 $X$ 的整个取值区间都在 0 的右侧。

From part (a)(i), $b=4a$, so

Since $X\geqslant a>0$,

均匀分布在 $[3,c]$ 上的方差为 $(c-3)^2/12$。与题目给出的方差相等后，整理成二次方程并因式分解；最后使用 $c>3$ 排除不合条件的根。

For $Y\sim U[3,c]$,

Therefore,

Thus $c=3$ or $c=39$. Since $c>3$,

题目已给出 $c>3$，所以 $c-3$ 为正且不为零。把 $3c-9$ 写成 $3(c-3)$ 后，可直接约去公因子 $c-3$，避免展开二次方程。

Write the variance equation as

Since $c>3$, divide both sides by $c-3$:

先把关于 $Y$ 的不等式整理为 $Y<9$。由 (b)(i)，$Y$ 在 $[3,39]$ 上均匀分布，所以所求概率是区间 $[3,9)$ 的长度除以总区间长度。

Since $Y\sim U[3,39]$,

二阶矩等于方差加上均值的平方。由 $c=39$ 可直接求出方差和期望，再代入这个关系。

From part (b)(i),

and

Therefore,

也可以直接按照均匀分布的密度积分求二阶矩。区间长度为 36，所以密度为 $1/36$。

The density of $Y$ on $[3,39]$ is $1/36$. Hence