题目

Problem

The continuous random variable $X$ has probability density function

\begin{align*} &\,f(x)\\ =&\, \begin{cases} \begin{gathered}c(x+3),\\-3\leqslant x<0,\end{gathered}\\[3mm] \begin{gathered}\dfrac5{36}(3-x),\\0\leqslant x\leqslant3,\end{gathered}\\[3mm] 0,\quad\text{otherwise}, \end{cases} \end{align*}

where $c$ is a positive constant.

(a) Show that $c=\dfrac1{12}$

(3)

(b) (i) Sketch the probability density function.

(ii) Explain why the mode of $X=0$

(3)

(4)

(d) Find, to 3 significant figures, the value of $d$ such that

\begin{align*} &\,P(X>d\mid X>0)\\ =&\,\dfrac25. \end{align*}

(4)

(Total for Question 7 is 14 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为

\begin{align*} &\,f(x)\\ =&\, \begin{cases} \begin{gathered}c(x+3),\\-3\leqslant x<0,\end{gathered}\\[3mm] \begin{gathered}\dfrac5{36}(3-x),\\0\leqslant x\leqslant3,\end{gathered}\\[3mm] 0,\quad\text{其他情况}, \end{cases} \end{align*}

其中 $c$ 为正常数。

(a) 证明 $c=\dfrac1{12}$ 。

(3)

(b) (i) 画出该概率密度函数的草图。

(ii) 解释为什么 $X$ 的众数为 0。

(3)

(4)

(d) 已知

\begin{align*} &\,P(X>d\mid X>0)\\ =&\,\dfrac25. \end{align*}

求 $d$ 的值，并保留 3 位有效数字。

(4)

（第 7 题共 14 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

概率密度函数在整个定义域上的积分等于 1。分别对左右两段积分，再由总面积为 1 解出 $c$ ，自然推出题目要求的结果。

答题过程

展开

Since the total area under the probability density function is 1,

\begin{align*} &\,\int_{-3}^{0}c(x+3)\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}+\int_0^3\frac5{36}(3-x)\,\mathrm{d}x=1. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,c\bigg[\frac{x^2}{2}+3x\bigg]_{-3}^{0}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac5{36}\bigg[3x-\frac{x^2}{2}\bigg]_0^3\\ =&\,1 \\[4mm] &\,\frac{9c}{2}+\frac58=1 \\[4mm] \frac{9c}{2}=&\,\frac38. \end{align*}

Hence,

\boxed{c=\frac1{12}},

as required.

解法二

思路

展开

两段密度图像都是三角形。左侧三角形底为 3、高为 $3c$ ；右侧三角形底为 3、高为 $5/12$ 。将两个三角形面积相加并令其等于 1。

答题过程

展开

Using the areas of the two triangles,

\begin{align*} &\,\frac12(3)(3c)\\ &\,\hspace{2pt}+\frac12(3)\bigg(\frac5{12}\bigg)=1. \end{align*}

Thus,

\begin{align*} \frac{9c}{2}+\frac58=&\,1 \\[4mm] c=&\,\boxed{\frac1{12}}. \end{align*}

解法三

思路

展开

也可以先分别积分，写出含常数的累积分布函数。利用左右端点处累计概率为 0 和 1，求出两个积分常数；再由累积分布函数在 0 处连续，确定 $c$ 。

答题过程

展开

On the left-hand interval, integrating the density gives

\begin{align*} &\,F(x)\\ =&\,c\bigg(\frac{x^2}{2}+3x\bigg)+A. \end{align*}

Using $F(-3)=0$ ,

\begin{align*} 0=&\,-\frac{9c}{2}+A\\ A=&\,\frac{9c}{2}. \end{align*}

On the right-hand interval,

\begin{align*} &\,F(x)\\ =&\,\frac5{36}\bigg(3x-\frac{x^2}{2}\bigg)+B. \end{align*}

Using $F(3)=1$ ,

\begin{align*} 1=&\,\frac58+B\\ B=&\,\frac38. \end{align*}

The two expressions must agree at $x=0$ , since the cumulative distribution function is continuous. Thus $A=B$ , giving

\begin{align*} \frac{9c}{2}=&\,\frac38\\ c=&\,\boxed{\frac1{12}}. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

左段从 $(-3,0)$ 线性上升至接近 $(0,1/4)$ ；在 $x=0$ 处，函数取右段的值 $5/12$ ，再线性下降至 $(3,0)$ 。因此 $x=0$ 处有一次向上的跳跃，不能用实线竖直连接。

答题过程

展开

The sketch consists of:

a straight line of positive gradient from $(-3,0)$ to an open point at $(0,1/4)$ ;
a closed point at $(0,5/12)$ ;
a straight line of negative gradient from $(0,5/12)$ to $(3,0)$ .

The values $-3$ , $0$ and $3$ should be labelled on the horizontal axis, and $1/4$ and $5/12$ on the vertical axis.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

连续分布的众数位于概率密度函数取得最大值的位置。比较图像可见，最高点是右段在 $x=0$ 处的端点。

答题过程

展开

The probability density has its highest value, $5/12$ , at $x=0$ . Therefore, the mode of $X$ is

\boxed{0}.

(c)

解法一

思路

展开

CDF 是从定义域左端累积到 $x$ 的面积。左段直接从 $-3$ 积到 $x$ ；右段可从总概率 1 中减去 $x$ 右侧的小三角形面积，所得形式更紧凑，并自动满足 $F(3)=1$ 。

答题过程

展开

For $-3\leqslant x<0$ ,

\begin{align*} F(x) =&\,\int_{-3}^{x}\frac1{12}(t+3)\,\mathrm{d}t \\[4mm] =&\,\frac{(x+3)^2}{24}. \end{align*}

For $0\leqslant x\leqslant3$ , subtracting the upper-tail triangle from 1 gives

F(x)=1-\frac5{72}(3-x)^2.

Hence,

\begin{align*} &\,F(x)\\ =&\, \begin{cases} 0,\quad x<-3, \\[2mm] \begin{gathered}\dfrac{(x+3)^2}{24},\\-3\leqslant x<0,\end{gathered}\\[3mm] \begin{gathered}1-\dfrac5{72}(3-x)^2,\\0\leqslant x\leqslant3,\end{gathered}\\[3mm] 1,\quad x>3. \end{cases} \end{align*}

解法二

思路

展开

也可从左到右累计积分。左段从 $-3$ 积分到 $x$ ；右段需要先加上左半部的概率 $3/8$ ，再从 0 积分到 $x$ ，不能遗漏这部分累计概率。

答题过程

展开

For $-3\leqslant x<0$ ,

\begin{align*} &\,F(x)\\ =&\,\int_{-3}^x\frac1{12}(t+3)\,\mathrm{d}t\\ =&\,\bigg[\frac{t^2}{24}+\frac t4\bigg]_{-3}^x\\ =&\,\frac{x^2}{24}+\frac x4+\frac38. \end{align*}

In particular, $F(0)=3/8$ . For $0\leqslant x\leqslant3$ ,

\begin{align*} &\,F(x)\\ =&\,\frac38+\int_0^x\frac5{36}(3-t)\,\mathrm{d}t\\ =&\,\frac38+\frac5{36}\bigg[3t-\frac{t^2}{2}\bigg]_0^x\\ =&\,\frac38+\frac{5x}{12}-\frac{5x^2}{72}. \end{align*}

These are the expanded forms of the two middle pieces above. For $x<-3$ , $F(x)=0$ ; for $x>3$ , $F(x)=1$ .

(d)

解法一

思路

展开

先把条件概率写成尾概率之比。由 (c) 可得 $P(X>0)=5/8$ ，因此 $P(X>d)=1/4$ ，也就是 $F(d)=3/4$ 。由于 $d>0$ ，代入 CDF 的右段求解，并根据 $0<d<3$ 选择正确平方根。

答题过程

展开

Since $d>0$ , the event $X>d$ is contained in $X>0$ . Therefore,

\begin{align*} &\,P(X>d\mid X>0)\\ =&\,\frac{P(X>d)}{P(X>0)} \\[4mm] =&\,\frac{1-F(d)}{1-F(0)} \\[4mm] =&\,\frac25. \end{align*}

From part (c), $F(0)=3/8$ , so

\begin{align*} 1-F(d) =&\,\frac25\left(1-\frac38\right) \\[4mm] =&\,\frac14. \end{align*}

Thus $F(d)=3/4$ . Using the right-hand part of the CDF,

\begin{align*} 1-\frac5{72}(3-d)^2=&\,\frac34 \\[4mm] (3-d)^2=&\,\frac{18}{5}. \end{align*}

Since $0<d<3$ , we require $3-d>0$ . Hence

\begin{align*} d=&\,3-\sqrt{\frac{18}{5}} \\[4mm] =&\,1.10263\ldots \\[4mm] =&\,\boxed{1.10}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接使用面积。条件概率先给出 $P(X>d)=1/4$ ；从 $d$ 到 3 的尾部是一个底为 $3-d$ 、高为 $5(3-d)/36$ 的三角形，令其面积等于 $1/4$ 即可。

答题过程

展开

As above,

P(X>d)=\frac14.

The region under the density from $d$ to $3$ is a triangle. Therefore,

\begin{align*} &\,\frac12(3-d)\cdot\frac{5(3-d)}{36}\\ =&\,\frac14 \\[4mm] &\,(3-d)^2=\frac{18}{5}. \end{align*}

Using $0<d<3$ gives

\begin{align*} d=&\,3-\sqrt{\frac{18}{5}}\\ \approx&\,\boxed{1.10}. \end{align*}

S2 2019 Jan Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程