CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2019 Oct S2 Q1

A Level / Edexcel / S2

IAL 2019 Oct Paper · Question 1

题目

Problem

A bus company sells tickets for a journey from London to Oxford every Saturday. Past records show that 5% of people who buy a ticket do not turn up for the journey.

The bus has seats for 48 people.

Each week the bus company sells tickets to exactly 50 people for the journey.

The random variable XX represents the number of these people who do not turn up for the journey.

(a) State one assumption required to model XX as a binomial distribution.

(1)

For this week’s journey find,

(b) (i) the probability that all 50 people turn up for the journey,

(ii) P(X=1)P(X=1)

(3)

The bus company receives £20 for each ticket sold and all 50 tickets are sold. It must pay out £60 to each person who buys a ticket and turns up for the journey but does not have a seat.

(c) Find the bus company’s expected total earnings per journey.

(3)

(Total for Question 1 is 7 marks)

题目中文翻译

一家巴士公司每周六出售从伦敦到牛津的行程车票。过去记录显示，购票者中有 5% 不会前来乘车。

巴士有 48 个座位。

巴士公司每周恰好向 50 人出售该行程的车票。

随机变量 XX 表示这些购票者中没有前来乘车的人数。

(a) 写出一个用二项分布为 XX 建模所需的假设。

对于本周的行程，求

(b) (i) 50 人全部前来乘车的概率；

(ii) P(X=1)P(X=1)。

巴士公司每张票收取 £20，且 50 张票全部售出。对于每位购票并前来乘车、但没有座位的乘客，巴士公司必须赔付 £60。

(c) 求巴士公司每次行程的预期总收益。

（第 1 题共 7 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

二项分布要求各次试验相互独立，且每次“未前来”的概率保持不变。题目只要求写出一个假设，因此给出与乘客情境相符的独立性假设即可。

答题过程

展开

Assume that whether each person turns up is independent of whether any other person turns up.

(b)(i)

解法一

思路

展开

XX 统计未前来的人数，因此所有 50 人都前来等价于 X=0X=0。未前来的概率为 0.05，所以 XX 服从参数为 50 和 0.05 的二项分布。

答题过程

展开 X∼B⁡(50,0.05).X\sim\operatorname{B}(50,0.05).

All 50 people turn up when X=0X=0. Hence

P(X=0)= (0.95)50= 0.0769449…= 0.0769(4 s.f.).\begin{align*} P(X=0) =&\,(0.95)^{50} \\[4mm] =&\,0.0769449\ldots \\[4mm] =&\,\boxed{0.0769}\quad\text{(4 s.f.)}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

使用二项分布概率公式，选择 50 人中的 1 人未前来，其余 49 人前来。

答题过程

展开 P(X=1)= (501)(0.05)(0.95)49= 0.202487…= 0.202(3 s.f.).\begin{align*} P(X=1) =&\,\binom{50}{1}(0.05)(0.95)^{49} \\[4mm] =&\,0.202487\ldots \\[4mm] =&\,\boxed{0.202}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

50 张票带来固定收入 £1000。若无人缺席，则有 2 人没有座位，赔付 £120，总收益为 £880；若 1 人缺席，则赔付 £60，总收益为 £940；若至少 2 人缺席，则所有前来的乘客都有座位，总收益为 £1000。对这三种收益按概率加权。

答题过程

展开

Let TT be the total earnings for one journey. The possible values are

X01X⩾2T£880£940£1000\begin{array}{c|ccc} X & 0 & 1 & X\geqslant2 \\ \hline T & \pounds880 & \pounds940 & \pounds1000 \end{array}

Also,

P(X⩾2)=1−P(X=0)−P(X=1).P(X\geqslant2)=1-P(X=0)-P(X=1).

Therefore,

E(T)= 880(0.0769449…) +940(0.202487…) +1000(1−0.0769449… −0.202487…)= 978.62…\begin{align*} E(T) =&\,880(0.0769449\ldots) \\[4mm] &\,\hspace{2pt}+940(0.202487\ldots) \\[4mm] &\,\hspace{4pt}+1000(1-0.0769449\ldots \\[2mm] &\,\hspace{55pt}-0.202487\ldots) \\[4mm] =&\,978.62\ldots \end{align*}

Hence the expected total earnings are

£979(nearest pound).\boxed{\pounds979}\quad\text{(nearest pound)}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也给出“票款减去预期赔偿”的路线。只有 X=0X=0 或 X=1X=1 时需要赔偿，赔偿额分别为 £120 和 £60；先求期望赔偿，再从固定票款 £1000 中扣除。

答题过程

展开

The expected payout is

E(payout)= 120P(X=0)+60P(X=1)= 120(0.0769449…) +60(0.202487…)= 21.3826…\begin{align*} E(\text{payout}) =&\,120P(X=0)+60P(X=1) \\[4mm] =&\,120(0.0769449\ldots) \\[4mm] &\,\hspace{2pt}+60(0.202487\ldots) \\[4mm] =&\,21.3826\ldots \end{align*}

Therefore,

E(T)= 1000−E(payout)= 978.62…= £979(nearest pound).\begin{align*} E(T) =&\,1000-E(\text{payout}) \\[4mm] =&\,978.62\ldots \\[4mm] =&\,\boxed{\pounds979}\quad\text{(nearest pound)}. \end{align*}