(i) (a) 写出可用泊松分布近似二项分布的条件。

一家工厂生产自行车轮胎，其中 0.25% 的轮胎有缺陷。

一家公司向该工厂订购 3000 个轮胎。

(b) 使用泊松近似，求公司订单中有超过 7 个缺陷轮胎的概率。

(ii) 已知该公司有 40% 的员工骑自行车上班。现随机抽取 150 名员工。随机变量 $C$ 表示样本中骑自行车上班的员工人数。

(a) 描述一个可用于抽取该样本的合适抽样框。

(b) 解释你对 $C$ 的抽样分布的理解。

Louis 使用正态近似计算样本中至多 $a$ 名员工骑自行车上班的概率。他忘记使用连续性修正，得到错误概率 0.0668。

写出所有计算步骤，求

(c) $a$ 的值；

(d) 正确的概率。

（第 6 题共 12 分）

泊松分布可近似二项分布的基本条件是试验次数 $n$ 较大，而单次成功概率 $p$ 较小。官方评分说明给出的具体参考条件是 $n>10$ 且 $p<0.25$。

The Poisson approximation may be used when $n$ is large and $p$ is small.

缺陷轮胎数原本服从参数为 $n=3000$、$p=0.0025$ 的二项分布。由于 $n$ 大而 $p$ 小，可用均值 $np=7.5$ 的泊松分布近似；“超过 7 个”用补集计算。

Let $X$ be the number of defective tyres. Exactly,

Using a Poisson approximation, let

Therefore,

抽样框必须覆盖总体中的每一名员工，使每个人都有机会被随机抽中。因此应使用完整的员工名册或数据库。

A suitable sampling frame is a complete list, database or register of all employees at the company.

抽样分布不是某一次实际样本的结果，而是从总体抽取所有可能的 150 人样本时，统计量 $C$ 的所有可能取值及其对应概率所组成的分布。

The sampling distribution of $C$ is the probability distribution of the number of employees who cycle to work, taken over all possible random samples of 150 employees.

$C$ 的二项分布均值为 60、方差为 36，因此 Louis 使用的正态近似为 $N(60,36)$。题目明确说他没有做连续性修正，所以直接把 $a$ 标准化；由左尾概率 0.0668 查得标准正态分位数 $-1.5$。

Exactly,

The normal approximation used by Louis has

and

Thus, Louis used $D\sim N(60,36)$. Since

his calculation without a continuity correction gives

“至多 51 人”是 $C\leqslant51$。使用连续正态分布近似离散二项分布时，上边界应修正为 51.5，再按与 (c) 相同的均值和标准差进行标准化。

Using the continuity correction,

Using standard normal tables with $z=-1.42$ gives $0.0778$; both values round to the officially accepted $0.078$ to 3 significant figures.