连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为

其中 $c$ 为正常数。

(a) 证明 $c=\dfrac1{12}$。

(b) (i) 画出该概率密度函数的草图。

(ii) 解释为什么 $X$ 的众数为 0。

(c) 求 $X$ 在所有 $x$ 取值下的累积分布函数。

(d) 已知 $P(X>d\mid X>0)=\dfrac25$，求 $d$ 的值，并保留 3 位有效数字。

（第 7 题共 14 分）

概率密度函数在整个定义域上的积分等于 1。分别对左右两段积分，再由总面积为 1 解出 $c$，自然推出题目要求的结果。

Since the total area under the probability density function is 1,

Therefore,

Hence,

as required.

两段密度图像都是三角形。左侧三角形底为 3、高为 $3c$；右侧三角形底为 3、高为 $5/12$。将两个三角形面积相加并令其等于 1。

Using the areas of the two triangles,

Thus,

左段从 $(-3,0)$ 线性上升至接近 $(0,1/4)$；在 $x=0$ 处，函数取右段的值 $5/12$，再线性下降至 $(3,0)$。因此 $x=0$ 处有一次向上的跳跃，不能用实线竖直连接。

The sketch consists of:

• a straight line of positive gradient from $(-3,0)$ to an open point at $(0,1/4)$;
• a closed point at $(0,5/12)$;
• a straight line of negative gradient from $(0,5/12)$ to $(3,0)$.

The values $-3$, $0$ and $3$ should be labelled on the horizontal axis, and $1/4$ and $5/12$ on the vertical axis.

连续分布的众数位于概率密度函数取得最大值的位置。比较图像可见，最高点是右段在 $x=0$ 处的端点。

The probability density has its highest value, $5/12$, at $x=0$. Therefore, the mode of $X$ is

CDF 是从定义域左端累积到 $x$ 的面积。左段直接从 $-3$ 积到 $x$；右段可从总概率 1 中减去 $x$ 右侧的小三角形面积，所得形式更紧凑，并自动满足 $F(3)=1$。

For $-3\leqslant x<0$,

For $0\leqslant x\leqslant3$, subtracting the upper-tail triangle from 1 gives

Hence,

先把条件概率写成尾概率之比。由 (c) 可得 $P(X>0)=5/8$，因此 $P(X>d)=1/4$，也就是 $F(d)=3/4$。由于 $d>0$，代入 CDF 的右段求解，并根据 $0<d<3$ 选择正确平方根。

Since $d>0$, the event $X>d$ is contained in $X>0$. Therefore,

From part (c), $F(0)=3/8$, so

Thus $F(d)=3/4$. Using the right-hand part of the CDF,

Since $0<d<3$, we require $3-d>0$. Hence

官方评分资料也接受直接使用面积。条件概率先给出 $P(X>d)=1/4$；从 $d$ 到 3 的尾部是一个底为 $3-d$、高为 $5(3-d)/36$ 的三角形，令其面积等于 $1/4$ 即可。

As above,

The region under the density from $d$ to $3$ is a triangle. Therefore,

Using $0<d<3$ gives