一项任务设计为由一个人在 25 分钟内完成。随机变量 $T$ 表示完成该任务所需的时间（单位：分钟），且 $T$ 在区间 $[25-k,25+3k]$ 上服从均匀分布，其中 $k>0$。

(a) 求 $P(25-0.5k<T<25+2.5k)$。

已知 $E(T^2)=918.76$。

(b) 求 $k$ 的值。

该任务将由 50 人完成。假设每个人完成任务的情况相互独立，

(c) 计算其中至少 20 人在少于 25 分钟内完成任务的概率。

（第 3 题共 10 分）

均匀分布在任一子区间内的概率等于“子区间长度除以整个分布区间的长度”。

The full interval has length

and the required interval has length

Therefore,

先用均匀分布的期望与方差公式求出 $E(T)$ 和 $\operatorname{Var}(T)$，再利用 $E(T^2)=\operatorname{Var}(T)+[E(T)]^2$ 建立关于 $k$ 的二次方程。解方程后，要根据 $k>0$ 排除负根。

For a uniform distribution on $[25-k,25+3k]$,

and

Using $E(T^2)=\operatorname{Var}(T)+[E(T)]^2$,

Hence

Solving,

Since $k>0$,

官方评分资料也给出了直接积分求 $E(T^2)$ 的路线。均匀分布区间的长度为 $4k$，所以密度是 $1/(4k)$；把题目给出的二阶矩代入积分，同样可得到关于 $k$ 的二次方程。

The probability density is $1/(4k)$ on the interval. Therefore,

Since $E(T^2)=918.76$,

Solving this equation and using $k>0$ gives

对一名参与者而言，25 位于均匀分布区间中距左端点 $k$ 的位置，因此在 25 分钟内完成的概率为 $1/4$。50 人相互独立，所以符合二项分布；“至少 20 人”用补集计算。

For one person,

Let $X$ be the number of people who complete the task in less than 25 minutes. Then

Therefore,