题目
The random variable T has probability density function f(t) where
\dfrac{1}{3} & 1 \leqslant t < 2 \\ k(4t^2-t^3) & 2 \leqslant t \leqslant 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (a) Show that k = 1/22 <div style="text-align: right;">(3)</div> (b) Sketch the probability density function. <div style="text-align: right;">(2)</div> (c) Find the mode of T. <div style="text-align: right;">(3)</div> (d) Find the cumulative distribution function F(t) for all values of t. <div style="text-align: right;">(5)</div> (e) Find the probability that T is greater than 3 <div style="text-align: right;">(2)</div> (Total for Question 4 is 15 marks)题目中文翻译
随机变量 的概率密度函数 为
\dfrac{1}{3} & 1 \leqslant t < 2 \\ k(4t^2-t^3) & 2 \leqslant t \leqslant 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (a) 证明 $k=\dfrac{1}{22}$。 (b) 画出概率密度函数的草图。 (c) 求 $T$ 的众数。 (d) 求所有取值下的累积分布函数 $F(t)$。 (e) 求 $T$ 大于 3 的概率。 （第 4 题共 15 分） </details> # 解答 ## (a) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 概率密度函数在整个定义域上的积分必须等于 1。分别对两个区间积分并相加，即可解出 $k$；由于题目要求证明给定结果，推导中保留完整积分过程。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Since the total area under a probability density function is 1,\int_1^2\frac13,\mathrm{d}t +\int_2^4 k(4t^2-t^3),\mathrm{d}t=1.
\begin{align*} \frac13 +k\left[\frac{4t^3}{3}-\frac{t^4}{4}\right]_2^4 =&,1 \[4mm] \frac13+\frac{44k}{3} =&,1 \[4mm] 44k=&,2. \end{align*}
\boxed{k=\frac1{22}},
as required. </details> ## (b) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 在 $1\leqslant t<2$ 上，图像是高度为 $1/3$ 的水平线。在 $t=2$ 处函数值跳至 $4/11$，随后曲线先上升再下降，并在 $t=4$ 到达横轴；不应画出连接跳跃两端的实心竖线。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> The sketch has: - a horizontal section $f(t)=1/3$ for $1\leqslant t<2$; - a jump to $f(2)=4/11$; - a curved section that first rises and then falls to $f(4)=0$; - the values $t=1$, $t=2$ and $t=4$ labelled on the horizontal axis. <p align="center"> <img src="" width="420"> </p> </details> ## (c) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 第一段密度恒为 $1/3$。第二段曲线的最高点可通过求导并令导数为零得到；再与第一段及端点的高度比较，即可确认全局众数。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For $2\leqslant t\leqslant4$,f’(t)=\frac1{22}(8t-3t^2).
\begin{align*} 8t-3t^2=&,0 \[4mm] t(8-3t)=&,0. \end{align*}
The solution in $[2,4]$ is $t=8/3$. The density rises before this point and falls after it, and its value there exceeds the constant density $1/3$ on the first interval. Hence the mode is\boxed{\frac83}.
</details> ## (d) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 累积分布函数是从最左端累积到 $t$ 的概率。区间 $1\leqslant t<2$ 只积第一段；区间 $2\leqslant t\leqslant4$ 要先带上 $F(2)=1/3$，再从 2 积分至 $t$。定义域外分别为 0 和 1。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For $1\leqslant t<2$,F(t)=\int_1^t\frac13,\mathrm{d}x =\frac{t}{3}-\frac13.
Also, $F(2)=1/3$. For $2\leqslant t\leqslant4$,\begin{align*} F(t) =&,\frac13 +\int_2^t\frac1{22}(4x^2-x^3),\mathrm{d}x \[4mm] =&,\frac13 +\frac1{22}\left[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_2^t \[4mm] =&,\frac{2t^3}{33}-\frac{t^4}{88}+\frac1{33}. \end{align*}
F(t)= \begin{cases} 0, & t<1, \[2mm] \dfrac{t}{3}-\dfrac13, & 1\leqslant t<2, \[3mm] \dfrac{2t^3}{33}-\dfrac{t^4}{88}+\dfrac1{33}, & 2\leqslant t\leqslant4, \[3mm] 1, & t>4. \end{cases}
</details> ## (e) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 利用上一小题求得的累积分布函数，$P(T>3)$ 等于 $1-F(3)$。这也清楚体现了本小题与 (d) 的承接关系。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Using the result from part (d),\begin{align*} P(T>3) =&,1-F(3) \[4mm] =&,1-\left( \frac{2(3)^3}{33}-\frac{3^4}{88}+\frac1{33} \right) \[4mm] =&,\frac{67}{264} \[4mm] =&,\boxed{0.254}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}
</details> ### 解法二 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 官方评分资料也接受直接把概率密度函数从 3 积到 4。这条路线不依赖 (d) 的累积分布函数，可作为独立核对。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Alternatively,\begin{align*} P(T>3) =&,\int_3^4\frac1{22}(4t^2-t^3),\mathrm{d}t \[4mm] =&,\frac1{22} \left[\frac{4t^3}{3}-\frac{t^4}{4}\right]_3^4 \[4mm] =&,\frac{67}{264} \[4mm] =&,\boxed{0.254}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}