题目
The random variable X has probability density function f(x) where
\dfrac{1}{8}(x^2+2x+1) & -1 \leqslant x < 1 \\ \dfrac{1}{4} & 1 \leqslant x \leqslant \dfrac{11}{3} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ Given that E(X) = 31/18 (a) use algebraic integration to find Var(X) <div style="text-align: right;">(4)</div> (b) Calculate P(X < -1/2) + P(X > 1/2) <div style="text-align: right;">(4)</div> (Total for Question 6 is 8 marks)题目中文翻译
随机变量 的概率密度函数 为
\dfrac{1}{8}(x^2+2x+1) & -1 \leqslant x < 1 \\ \dfrac{1}{4} & 1 \leqslant x \leqslant \dfrac{11}{3} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ 已知 $E(X)=\dfrac{31}{18}$。 (a) 使用代数积分求 $\mathrm{Var}(X)$。 (b) 计算 $P(X < -1/2) + P(X > 1/2)$。 （第 6 题共 8 分） </details> # 解答 ## (a) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 先按概率密度函数的两个区间分别积分，求出 $E(X^2)$。再使用 $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，代入题目给出的 $E(X)$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary>\begin{align*} E(X^2) =&,\int_{-1}^{1}\frac18x^2(x^2+2x+1),dx +\int_{1}^{11/3}\frac14x^2,dx \[4mm] =&,\frac18\left[\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right]{-1}^{1} +\frac14\left[\frac{x^3}{3}\right]{1}^{11/3} \[4mm] =&,\frac{2}{15}+\frac{326}{81} \[4mm] =&,\frac{1684}{405}. \end{align*}
\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&,E(X^2)-[E(X)]^2 \[4mm] =&,\frac{1684}{405}-\left(\frac{31}{18}\right)^2 \[4mm] =&,\frac{1931}{1620} \[4mm] =&,1.19197\ldots \end{align*}
\boxed{\operatorname{Var}(X)=1.19}\quad\text{(3 s.f.)}.
</details> ## (b) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 把所求概率拆成左右两尾。左尾只涉及第一段密度；右尾跨过 $x=1$，所以需要按密度函数的分段点拆成两个积分，再把三部分相加。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For the lower tail,\begin{align*} P\left(X<-\frac12\right) =&,\int_{-1}^{-1/2}\frac18(x+1)^2,dx \[4mm] =&,\left[\frac{(x+1)^3}{24}\right]_{-1}^{-1/2} \[4mm] =&,\frac{1}{192}. \end{align*}
\begin{align*} P\left(X>\frac12\right) =&,\int_{1/2}^{1}\frac18(x+1)^2,dx +\int_{1}^{11/3}\frac14,dx \[4mm] =&,\left[\frac{(x+1)^3}{24}\right]{1/2}^{1} +\left[\frac{x}{4}\right]{1}^{11/3} \[4mm] =&,\frac{37}{192}+\frac23 \[4mm] =&,\frac{55}{64}. \end{align*}
\begin{align*} P\left(X<-\frac12\right)+P\left(X>\frac12\right) =&,\frac{1}{192}+\frac{55}{64} \[4mm] =&,\frac{83}{96} \[4mm] =&,\boxed{0.865}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}
</details> ### 解法二 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 两个尾部事件的补集是 $-\dfrac12\leqslant X\leqslant\dfrac12$。这个区间完全落在概率密度函数的第一段内，因此只需计算一个积分，再用 1 减去它。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Using the complementary event,\begin{align*} P\left(X<-\frac12\right)+P\left(X>\frac12\right) =&,1-P\left(-\frac12\leqslant X\leqslant\frac12\right) \[4mm] =&,1-\int_{-1/2}^{1/2}\frac18(x+1)^2,dx \[4mm] =&,1-\left[\frac{(x+1)^3}{24}\right]_{-1/2}^{1/2} \[4mm] =&,1-\frac{13}{96} \[4mm] =&,\frac{83}{96} \[4mm] =&,\boxed{0.865}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}