题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of the probability density function $f(x)$ of the random variable $X$ .

For $1\leqslant x\leqslant2$ , $f(x)$ is represented by a curve with equation

\begin{align*} f(x)=&\,k\Big(\frac12x^3-3x^2\\ &\,\hspace{2pt}+ax+1\Big). \end{align*}

where $k$ and $a$ are constants.

For all other values of $x$ , $f(x)=0$

(a) Use algebraic integration to show that $k(12a-33)=8$

(4)

Given that $a=5$

(b) calculate the mode of $X$ .

(4)

(Total for Question 1 is 8 marks)

题目中文翻译

图 1 给出了随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 的草图。

当 $1 \leqslant x \leqslant 2$ 时， $f(x)$ 由曲线表示，其方程为

\begin{align*} f(x)=&\,k\Big(\frac12x^3-3x^2\\ &\,\hspace{2pt}+ax+1\Big). \end{align*}

其中 $k$ 和 $a$ 是常数。

对所有其他 $x$ 值， $f(x)=0$ 。

(a) 用代数积分证明 $k(12a-33)=8$ 。

(4)

已知 $a=5$ 。

(b) 求 $X$ 的众数。

(4)

（第 1 题共 8 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

概率密度函数在整个定义域上的积分为 1。把题目给出的 $f(x)$ 从 1 积到 2，完整代入上下限并整理，即可推出指定关系；这是 Show that 题，因此不能跳过通向目标式的代数步骤。

答题过程

展开

Since $f$ is a probability density function,

\int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x=1.

An antiderivative of $f(x)$ is $kG(x)$ , where

\begin{align*} &\,G(x)\\[4mm] =&\,\frac{x^4}{8}-x^3+\frac{ax^2}{2}+x. \end{align*}

Substituting the two limits gives

\begin{align*} G(2)=&\,2-8+2a+2\\[4mm] =&\,2a-4,\\[4mm] G(1)=&\,\frac18-1+\frac a2+1\\[4mm] =&\,\frac18+\frac a2. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,k[G(2)-G(1)]=1,\\[4mm] &\,k(2a-4)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-k\Big(\frac18+\frac a2\Big)=1,\\[4mm] &\,k\Big(\frac{3a}{2}-\frac{33}{8}\Big)=1. \end{align*}

Multiplying by 8 gives

\boxed{k(12a-33)=8},

as required.

解法二

思路

展开

也可以对密度函数作不定积分，得到累积分布函数加常数。利用 $F(1)=0$ 和 $F(2)=1$ 建立两个方程，再相减消去积分常数。

答题过程

展开

For $1\leqslant x\leqslant2$ , integrating the density gives

F(x)=kG(x)+C,

where

\begin{align*} &\,G(x)\\[4mm] =&\,\frac{x^4}{8}-x^3+\frac{ax^2}{2}+x. \end{align*}

Using $F(1)=0$ ,

k\Big(\frac18+\frac a2\Big)+C=0.

Using $F(2)=1$ ,

k(2a-4)+C=1.

Subtracting the first equation from the second,

\begin{align*} &\,k(2a-4)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-k\Big(\frac18+\frac a2\Big)=1,\\[4mm] &\,k\Big(\frac{3a}{2}-\frac{33}{8}\Big)=1. \end{align*}

Multiplying by 8 gives

\boxed{k(12a-33)=8},

as required.

(b)

解法一

思路

展开

众数是概率密度取得最大值时的 $x$ 。先将 $a=5$ 代入并对 $f(x)$ 求导，令导数为 0 求驻点。两个代数根中只有一个落在定义域 $1\leqslant x\leqslant2$ ；再利用导数在该点前后由正变负确认它是最大值点。

答题过程

展开

From part (a), when $a=5$ ,

k(60-33)=8,

so $k=8/27>0$ . Also,

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} =k\bigg(\frac32x^2-6x+5\bigg).

At a stationary point,

\frac32x^2-6x+5=0.

Hence,

\begin{align*} x =&\,\frac{6\pm\sqrt{36-30}}{3} \\[4mm] =&\,2\pm\frac{\sqrt6}{3}. \end{align*}

Now,

2+\frac{\sqrt6}{3}=2.816\ldots

lies outside $1\leqslant x\leqslant2$ , whereas

2-\frac{\sqrt6}{3}=1.183\ldots

lies inside the interval. Since $f'(x)$ changes from positive to negative at this point, the mode is

\boxed{2-\frac{\sqrt6}{3}}.

S2 2020 Oct Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程