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IAL 2020 Oct S2 Q2

A Level / Edexcel / S2

IAL 2020 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

In the summer Kylie catches a local steam train to work each day. The published arrival time for the train is 10 am.

The random variable W is the train’s actual arrival time minus the published arrival time, in minutes. When the value of W is positive, the train is late.

The cumulative distribution function F(w) is shown in the sketch below.

(a) Specify fully the probability density function f(w) of W.

(2)

(b) Write down the value of E(W)

(1)

(c) Calculate α such that P(α ≤ W ≤ 1.6) = 0.35

(2)

A day is selected at random.

(d) Calculate the probability that on this day the train arrives between 1.2 minutes late and 2.4 minutes late.

(2)

Given that on this day the train was between 1.2 minutes late and 2.4 minutes late,

(e) calculate the probability that it was more than 2 minutes late.

(2)

A random sample of 40 days is taken.

(f) Calculate the probability that for at least 10 of these days the train is between 1.2 minutes late and 2.4 minutes late.

(3)

(Total for Question 2 is 12 marks)

题目中文翻译

夏天里，Kylie 每天搭乘当地蒸汽火车上班。火车的公布到达时间是上午 10 点。

随机变量 WW 表示火车实际到达时间减去公布到达时间，单位为分钟。若 WW 为正，则表示火车晚点。

下图给出了累积分布函数 F(w)F(w) 的草图。该分布在 −1.4-1.4 到 6.66.6 之间为线性上升。

(a) 完整写出 WW 的概率密度函数 f(w)f(w)。

(b) 写下 E(W)E(W) 的值。

(c) 求满足 P(α⩽W⩽1.6)=0.35P(\alpha \leqslant W \leqslant 1.6)=0.35 的 α\alpha。

随机选取一天。

(d) 求这一天火车晚点在 1.2 分钟到 2.4 分钟之间的概率。

已知在这一天火车晚点在 1.2 分钟到 2.4 分钟之间，

(e) 求它晚点超过 2 分钟的概率。

随机抽取 40 天。

(f) 求其中至少 10 天火车晚点在 1.2 分钟到 2.4 分钟之间的概率。

（第 2 题共 12 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

累积分布函数在 −1.4-1.4 至 6.66.6 之间由 0 线性增加到 1，因此其斜率恒为 1/(6.6−(−1.4))=1/81/(6.6-(-1.4))=1/8。概率密度函数是累积分布函数的导数，区间外则为 0。

答题过程

展开

The gradient of F(w)F(w) between −1.4-1.4 and 6.66.6 is

1−06.6−(−1.4)=18.\frac{1-0}{6.6-(-1.4)}=\frac18.

Therefore,

f(w)={18,−1.4<w<6.6,0,otherwise.f(w)= \begin{cases} \dfrac18, & -1.4<w<6.6, \\[3mm] 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

(b)

解法一

思路

展开

由 (a) 可知 WW 在 [−1.4,6.6][-1.4,6.6] 上服从均匀分布。均匀分布的期望是区间两个端点的中点。

答题过程

展开

Since WW is uniformly distributed on [−1.4,6.6][-1.4,6.6],

E(W)=−1.4+6.62=2.6.E(W)=\frac{-1.4+6.6}{2}=\boxed{2.6}.

(c)

解法一

思路

展开

区间 [α,1.6][\alpha,1.6] 位于均匀分布的支持区间内，概率等于区间长度乘以密度 1/81/8。令该概率等于 0.35 后解出 α\alpha。

答题过程

展开 P(α⩽W⩽1.6)= (1.6−α)(18)= 0.35.\begin{align*} P(\alpha\leqslant W\leqslant1.6) =&\,(1.6-\alpha)\bigg(\frac18\bigg) \\[4mm] =&\,0.35. \end{align*}

Thus,

1.6−α=2.8,1.6-\alpha=2.8,

so

α=−1.2.\boxed{\alpha=-1.2}.

(d)

解法一

思路

展开

晚点 1.2 至 2.4 分钟对应 1.2<W<2.41.2<W<2.4。均匀分布下，概率等于这段区间的长度 1.2 乘以密度 1/81/8。

答题过程

展开 P(1.2<W<2.4)= (2.4−1.2)(18)= 0.15.\begin{align*} P(1.2<W<2.4) =&\,(2.4-1.2)\bigg(\frac18\bigg) \\[4mm] =&\,\boxed{0.15}. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

在已知 1.2<W<2.41.2<W<2.4 的条件下，“晚点超过 2 分钟”对应其中的子区间 2<W<2.42<W<2.4。用子区间概率除以 (d) 的条件事件概率。

答题过程

展开  P(W>2∣1.2<W<2.4)= P(2<W<2.4)P(1.2<W<2.4)= (2.4−2)(1/8)0.15= 13.\begin{align*} &\,P(W>2\mid1.2<W<2.4) \\[4mm] =&\,\frac{P(2<W<2.4)}{P(1.2<W<2.4)} \\[4mm] =&\,\frac{(2.4-2)(1/8)}{0.15} \\[4mm] =&\,\boxed{\frac13}. \end{align*}

(f)

解法一

思路

展开

由 (d) 可知，每一天符合条件的概率为 0.15。设 40 天中符合条件的天数为 YY，则 YY 服从二项分布；“至少 10 天”用补集 1−P(Y⩽9)1-P(Y\leqslant9) 计算。

答题过程

展开

Let YY be the number of days on which the train is between 1.2 and 2.4 minutes late. Then

Y∼B(40,0.15).Y\sim B(40,0.15).

Therefore,

P(Y⩾10)= 1−P(Y⩽9)= 1−0.932779…= 0.0672203…= 0.0672.\begin{align*} P(Y\geqslant10) =&\,1-P(Y\leqslant9) \\[4mm] =&\,1-0.932779\ldots \\[4mm] =&\,0.0672203\ldots \\[4mm] =&\,\boxed{0.0672}. \end{align*}