一家制造商生产盘子。盘子有缺陷的比例为 45%，且缺陷盘子彼此独立出现。

随机抽取 10 个盘子。

(a) 求样本中：

(i) 少于 2 个有缺陷盘子的概率；

(ii) 至少 6 个有缺陷盘子的概率。

George 认为有缺陷盘子的比例不是 45%。为了检验他的看法，他抽取了 120 个盘子。随机变量 $F$ 表示样本中有缺陷盘子的数量。

(b) 使用正态近似，求最大的盘子数 $c$ 和最小的盘子数 $d$，使得

$P(F \leqslant c) \leqslant 0.05$ 且 $P(F \geqslant d) \leqslant 0.05$

其中 $F \sim B(120,0.45)$。

制造商声称，在生产工艺改变后，有缺陷盘子的比例下降了。改变工艺后随机抽取 30 个盘子，其中 8 个有缺陷。

(c) 使用合适的假设检验，在 5% 显著性水平下检验制造商的说法，并清楚写出假设。

（第 3 题共 15 分）

每个盘子有缺陷的概率为 0.45，且各盘子彼此独立，所以缺陷盘子数服从二项分布。“少于 2 个”包括 0 个和 1 个，可直接计算累积概率。

Let $X$ be the number of flawed plates in the sample. Then

Therefore,

“至少 6 个”是“不超过 5 个”的补集。沿用 (i) 的二项分布，计算 $1-P(X\leqslant5)$。

用正态分布近似 $B(120,0.45)$，其均值为 54、方差为 29.7。左右两尾各对应标准正态的 5% 分位点 $\pm1.64485$。计算 $P(F\leqslant c)$ 时用边界 $c+0.5$，计算 $P(F\geqslant d)$ 时用边界 $d-0.5$，最后根据最大或最小整数要求取值。

The mean and variance are

and

Hence

For the lower tail, using a continuity correction,

Therefore,

so $c\leqslant44.5359\ldots$. The maximum integer value is

For the upper tail,

Therefore,

so $d\geqslant63.4641\ldots$. The minimum integer value is

制造商声称缺陷率下降，因此进行下尾单侧检验。以原比例 0.45 为原假设，计算在 $B(30,0.45)$ 下出现 8 个或更少缺陷盘子的概率，并与 5% 比较。

Let $p$ be the proportion of flawed plates. The hypotheses are

Under $H_0$, let

The p-value is

Since $0.0312<0.05$, $H_0$ is rejected. There is sufficient evidence at the 5% significance level to support the manufacturer’s claim that the proportion of flawed plates has decreased.

也可以按官方评分资料接受的临界域路线作答。检查相邻累积概率可知，$P(Y\leqslant8)<0.05$，但 $P(Y\leqslant9)>0.05$，所以 5% 下尾临界域是 $Y\leqslant8$。

Use the hypotheses

with $Y\sim B(30,0.45)$ under $H_0$. Now,

whereas

Hence the critical region is $Y\leqslant8$. The observed value $8$ lies in the critical region, so $H_0$ is rejected. The data support the manufacturer’s claim that the proportion of flawed plates has decreased.