在一个泥炭沼泽中，斑点兰的平均出现率为每平方米 4.5 株。

(a) 写出一条未在题干中说明、但使每平方米斑点兰数量服从泊松分布所需的假设。

已知该泥炭沼泽中 1 $\text{m}^2$ 的斑点兰数量可用泊松分布建模。

(b) 求随机选取的 1 $\text{m}^2$ 沼泽中：

(i) 恰好有 6 株斑点兰的概率；

(ii) 多于 4 株但少于 10 株斑点兰的概率。

Juan 认为通过引入新的管理方案，沼泽中的斑点兰数量会增加。经过三年新的管理方案后，随机选取的 2 $\text{m}^2$ 沼泽中有 11 株斑点兰。

(c) 在 5% 显著性水平下检验 Juan 的看法，并清楚写出假设。

假设泥炭沼泽中的斑点兰仍以每平方米 4.5 株的平均速率出现。

(d) 使用正态近似，求随机选取的 20 $\text{m}^2$ 沼泽中斑点兰少于 70 株的概率。

在一段干旱天气后，随机选取的 20 $\text{m}^2$ 沼泽中斑点兰少于 70 株的概率为 0.012。

随机抽取 200 个互不重叠的 20 $\text{m}^2$ 区域。

(e) 使用合适的近似，求其中至多 1 个区域含有少于 70 株斑点兰的概率。

（第 4 题共 16 分）

泊松模型要求事件在区域内随机且彼此独立地发生。题目已经给出恒定的平均出现率，因此补充独立性这一假设即可。

Common Spotted-orchids occur independently of one another.

在 $1\text{ m}^2$ 区域内，斑点兰数量服从均值为 4.5 的泊松分布。把 $s=6$ 代入泊松概率质量函数。

Let $S$ be the number of Common Spotted-orchids in $1\text{ m}^2$. Then

Therefore,

累积到 6 的概率减去累积到 5 的概率，剩下的就是恰好为 6 的概率。

For $S\sim\operatorname{Po}(4.5)$,

“多于 4 但少于 10”对应 $5\leqslant S\leqslant9$。利用两个累积概率之差 $P(S\leqslant9)-P(S\leqslant4)$ 计算。

Juan 认为平均数量增加，因此进行上尾单侧检验。原平均率为每平方米 4.5 株，所以在 $2\text{ m}^2$ 内原假设的均值是 9。计算观测到至少 11 株的上尾概率，并与 5% 比较。

Let $\lambda$ be the mean number of Common Spotted-orchids in $2\text{ m}^2$. The hypotheses are

Under $H_0$, let

The p-value is

Since $0.294>0.05$, $H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence at the 5% significance level to support Juan’s belief that the number of Common Spotted-orchids has increased.

也可以使用临界域路线。由上尾概率找出不超过 5% 的最小临界值：$P(M\geqslant15)<0.05$，但把边界扩到 14 后概率会超过 5%，所以临界域是 $M\geqslant15$。

Use the hypotheses

with $M\sim\operatorname{Po}(9)$ under $H_0$. Now,

whereas

Hence the critical region is $M\geqslant15$. Since the observed value $11$ is not in the critical region, $H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence to support Juan’s belief.

在 $20\text{ m}^2$ 内，泊松均值为 $20\times4.5=90$；用均值和方差同为 90 的正态分布近似。“少于 70”即不超过 69，连续性修正后的边界是 69.5。

Let $T$ be the number of Common Spotted-orchids in $20\text{ m}^2$. Using a normal approximation,

Applying a continuity correction,

设符合条件的区域数为 $V$，则原本有 $V\sim B(200,0.012)$。因为样本量大而成功概率小，用均值 $200\times0.012=2.4$ 的泊松分布近似，再计算 $P(V\leqslant1)$。

Let $V$ be the number of areas containing fewer than 70 Common Spotted-orchids. Then

Using a Poisson approximation,

Therefore,