题目
The waiting time, T minutes, of a customer to be served in a local post office has probability density function
\dfrac{1}{50}(18-2t) & 0 \leqslant t \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{20} & 3 < t \leqslant 5 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ Given that the mean number of minutes a customer waits to be served is 1.66 (a) use algebraic integration to find Var(T), giving your answer to 3 significant figures. <div style="text-align: right;">(5)</div> (b) Find the cumulative distribution function F(t) for all values of t. <div style="text-align: right;">(4)</div> (c) Calculate the probability that a randomly chosen customer’s waiting time will be more than 2 minutes. <div style="text-align: right;">(2)</div> (d) Calculate P([E(T) − 2] < T < [E(T) + 2]) <div style="text-align: right;">(2)</div> (Total for Question 5 is 13 marks)题目中文翻译
当地邮局一位顾客的等待时间 （单位：分钟）服从如下概率密度函数：
\dfrac{1}{50}(18-2t) & 0 \leqslant t \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{20} & 3 < t \leqslant 5 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ 已知顾客的平均等待时间是 1.66 分钟。 (a) 使用代数积分求 $\mathrm{Var}(T)$，答案保留 3 位有效数字。 (b) 求所有取值下的累积分布函数 $F(t)$。 (c) 求随机选取一位顾客等待时间超过 2 分钟的概率。 (d) 求 $P([E(T)-2]<T<[E(T)+2])$。 （第 5 题共 13 分） </details> # 解答 ## (a) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 利用 $\operatorname{Var}(T)=E(T^2)-[E(T)]^2$。由于概率密度函数在 $t=3$ 处分段，计算 $E(T^2)$ 时要分成两个定积分；再代入题目给出的 $E(T)=1.66$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> First calculate the second moment:\begin{align*} E(T^2) =&,\int_0^3 t^2\left(\frac{18-2t}{50}\right),\mathrm{d}t +\int_3^5 \frac{t^2}{20},\mathrm{d}t \[4mm] =&,\left[\frac1{50}\left(6t^3-\frac{t^4}{2}\right)\right]_0^3 +\left[\frac{t^3}{60}\right]_3^5 \[4mm] =&,\frac{1219}{300} \[4mm] =&,4.063\ldots \end{align*}
\begin{align*} \operatorname{Var}(T) =&,E(T^2)-[E(T)]^2 \[4mm] =&,\frac{1219}{300}-(1.66)^2 \[4mm] =&,1.3077\ldots \[4mm] =&,\boxed{1.31}\quad\text{(3 s.f.).} \end{align*}
</details> ## (b) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 按定义 $F(t)=P(T\leqslant t)$ 分段积分。第一段从 0 积到 $t$；第二段先计入 $F(3)=0.9$，再加上从 3 到 $t$ 的面积。支持区间外分别取 0 和 1。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For $0\leqslant t\leqslant3$,\begin{align*} F(t) =&,\int_0^t\frac{18-2x}{50},\mathrm{d}x \[4mm] =&,\frac{18t-t^2}{50}. \end{align*}
Hence $F(3)=45/50=0.9$. For $3<t\leqslant5$,\begin{align*} F(t) =&,F(3)+\int_3^t\frac1{20},\mathrm{d}x \[4mm] =&,0.9+\frac{t-3}{20} \[4mm] =&,\frac{t}{20}+0.75. \end{align*}
F(t)= \begin{cases} 0, & t<0, \[2mm] \dfrac{18t-t^2}{50}, & 0\leqslant t\leqslant3, \[4mm] \dfrac{t}{20}+0.75, & 3<t\leqslant5, \[4mm] 1, & t>5. \end{cases}
</details> ## (c) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 等待时间超过 2 分钟是累积事件 $T\leqslant2$ 的补集，因此用 (b) 中适用于 $0\leqslant t\leqslant3$ 的一段计算 $1-F(2)$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary>\begin{align*} P(T>2) =&,1-F(2) \[4mm] =&,1-\frac{18(2)-2^2}{50} \[4mm] =&,\boxed{0.36}. \end{align*}
</details> ## (d) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 先把题目给出的均值代入上下界，得到 $-0.34<T<3.66$。由于 $T$ 不会小于 0，所求概率就是 $F(3.66)$，并使用累积分布函数的第三段。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Since $E(T)=1.66$,E(T)-2=-0.34 \quad\text{and}\quad E(T)+2=3.66.
As $T\geqslant0$,\begin{align*} P([E(T)-2]<T<[E(T)+2]) =&,P(-0.34<T<3.66) \[4mm] =&,F(3.66) \[4mm] =&,\frac{3.66}{20}+0.75 \[4mm] =&,\boxed{0.933}. \end{align*}