题目

Problem

The waiting time, $T$ minutes, of a customer to be served in a local post office has probability density function

\begin{align*} &\,f(t)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{50}(18-2t)\\[-1mm] &\,\quad 0\leqslant t\leqslant3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac1{20}\\[-1mm] &\,\quad 3<t\leqslant5 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad\text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

Given that the mean number of minutes a customer waits to be served is 1.66

(a) use algebraic integration to find $\operatorname{Var}(T)$ , giving your answer to 3 significant figures.

(5)

(b) Find the cumulative distribution function $F(t)$ for all values of $t$ .

(4)

(2)

(d) Calculate

P\Bigg( \begin{aligned} &\,[E(T)-2]<T\\ &\,\quad<[E(T)+2] \end{aligned} \Bigg)

(2)

(Total for Question 5 is 13 marks)

题目中文翻译

当地邮局一位顾客的等待时间 $T$ （单位：分钟）服从如下概率密度函数：

\begin{align*} &\,f(t)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{50}(18-2t)\\[-1mm] &\,\quad 0\leqslant t\leqslant3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac1{20}\\[-1mm] &\,\quad 3<t\leqslant5 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad\text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

已知顾客的平均等待时间是 1.66 分钟。

(a) 使用代数积分求 $\mathrm{Var}(T)$ ，答案保留 3 位有效数字。

(5)

(b) 求所有取值下的累积分布函数 $F(t)$ 。

(4)

(2)

(d) 求

P\Bigg( \begin{aligned} &\,[E(T)-2]<T\\ &\,\quad<[E(T)+2] \end{aligned} \Bigg)

(2)

（第 5 题共 13 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

先求二阶矩，再减去均值的平方。由于概率密度函数在 $t=3$ 处分段，计算二阶矩时要分成两个定积分；最后代入题目给出的均值 $1.66$ 。

答题过程

展开

Let $A$ and $B$ be the contributions to the second moment from the two intervals.

\begin{align*} &\,A\\[4mm] =&\,\frac1{50}\int_0^3(18t^2-2t^3)\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\Big[\frac{3t^3}{25}-\frac{t^4}{100}\Big]_0^3\\[4mm] =&\,\frac{81}{25}-\frac{81}{100}\\[4mm] =&\,\frac{243}{100}. \end{align*}

\begin{align*} B=&\,\int_3^5\frac{t^2}{20}\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\Big[\frac{t^3}{60}\Big]_3^5\\[4mm] =&\,\frac{125}{60}-\frac{27}{60}\\[4mm] =&\,\frac{49}{30}. \end{align*}

Thus

\begin{align*} E(T^2)=&\,A+B\\[4mm] =&\,\frac{243}{100}+\frac{49}{30}\\[4mm] =&\,\frac{1219}{300}\\[4mm] =&\,4.063\ldots \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,\operatorname{Var}(T)\\[4mm] =&\,E(T^2)-[E(T)]^2 \\[4mm] =&\,\frac{1219}{300}-(1.66)^2 \\[4mm] =&\,1.3077\ldots \\[4mm] =&\,\boxed{1.31}\quad\text{(3 s.f.).} \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

按定义 $F(t)=P(T\leqslant t)$ 分段积分。第一段从 0 积到 $t$ ；第二段先计入 $F(3)=0.9$ ，再加上从 3 到 $t$ 的面积。支持区间外分别取 0 和 1。

答题过程

展开

For $0\leqslant t\leqslant3$ ,

\begin{align*} F(t) =&\,\int_0^t\frac{18-2x}{50}\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\,\frac{18t-t^2}{50}. \end{align*}

Hence $F(3)=45/50=0.9$ . For $3<t\leqslant5$ ,

\begin{align*} F(t) =&\,F(3)+\int_3^t\frac1{20}\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\,0.9+\frac{t-3}{20} \\[4mm] =&\,\frac{t}{20}+0.75. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,F(t)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad t<0 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{18t-t^2}{50}\\[-1mm] &\,\quad 0\leqslant t\leqslant3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{t}{20}+0.75\\[-1mm] &\,\quad 3<t\leqslant5 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,1\\[-1mm] &\,\quad t>5. \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

解法二

思路

展开

分别对两段密度作不定积分，再用端点的累积概率确定常数。第一段用 $F(0)=0$ ，第二段用 $F(5)=1$ ；最后核对两段在 $t=3$ 处相接。

答题过程

展开

For $0\leqslant t\leqslant3$ ,

F(t)=\frac{18t-t^2}{50}+C_1.

Using $F(0)=0$ gives $C_1=0$ .

For $3<t\leqslant5$ , integrating the constant density gives

F(t)=\frac{t}{20}+C_2.

Since $F(5)=1$ ,

\begin{align*} 1=&\,\frac5{20}+C_2,\\[4mm] C_2=&\,0.75. \end{align*}

The two pieces both give $F(3)=0.9$ . With $F(t)=0$ for $t<0$ and $F(t)=1$ for $t>5$ , this gives the same full cumulative distribution function as above.

(c)

解法一

思路

展开

等待时间超过 2 分钟是累积事件 $T\leqslant2$ 的补集，因此用 (b) 中适用于 $0\leqslant t\leqslant3$ 的一段计算 $1-F(2)$ 。

答题过程

展开

\begin{align*} &\,P(T>2)\\[4mm] =&\,1-F(2) \\[4mm] =&\,1-\frac{18(2)-2^2}{50} \\[4mm] =&\,\boxed{0.36}. \end{align*}

解法二

思路

展开

直接求 $t=2$ 到 $t=5$ 下方的面积也可以。这个区间跨过 $t=3$ ，因此把积分分成两段，再将结果相加。

答题过程

展开

\begin{align*} &\,P(T>2)\\[4mm] =&\,\int_2^3\frac{18-2t}{50}\,\mathrm{d}t\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\int_3^5\frac1{20}\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\Big[\frac{18t-t^2}{50}\Big]_2^3\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\Big[\frac{t}{20}\Big]_3^5\\[4mm] =&\,\frac{45-32}{50}+\frac{5-3}{20}\\[4mm] =&\,0.26+0.10\\[4mm] =&\,\boxed{0.36}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

先把题目给出的均值代入上下界，得到 $-0.34<T<3.66$ 。由于 $T$ 不会小于 0，所求概率就是 $F(3.66)$ ，并使用累积分布函数的第三段。

答题过程

展开

Write the two bounds as $u=E(T)-2$ and $v=E(T)+2$ . Since $E(T)=1.66$ ,

\begin{align*} u=&\,1.66-2=-0.34,\\[4mm] v=&\,1.66+2=3.66. \end{align*}

As $T\geqslant0$ ,

\begin{align*} &\,P(u<T<v)\\[4mm] =&\,P(-0.34<T<3.66) \\[4mm] =&\,F(3.66) \\[4mm] =&\,\frac{3.66}{20}+0.75 \\[4mm] =&\,\boxed{0.933}. \end{align*}

S2 2020 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程