每 100 ml 池塘水中的水蚤数量服从均值为 7 的泊松分布。

(a) 求一份 100 ml 池塘水样本中不恰好含有 4 只水蚤的概率。

(b) Aja 取了 5 份独立的 100 ml 池塘水样本。求其中恰好 1 份样本恰好含有 4 只水蚤的概率。

使用正态近似，随机取 $n$ ml 的池塘水样本时，含有多于 3 只水蚤的概率为 0.9394，精确到 4 位有效数字。

(c) (i) 证明

$n-1.55\sqrt{\frac{n}{0.07}}-50=0$

(ii) 因而求 $n$ 的值。

池塘清理后，随机取 100 ml 池塘水样本，发现有 15 只水蚤。

(d) 使用合适的检验，在 1% 显著性水平下判断是否有证据表明每 100 ml 池塘水中的水蚤数量增加了，并清楚写出假设。

（第 3 题共 17 分）

令 $X$ 表示一份 100 ml 水样中的水蚤数，则 $X\sim\operatorname{Po}(7)$。“不恰好为 4”是事件 $X=4$ 的补集。

Let $X$ be the number of water fleas in a 100 ml sample. Then

Therefore,

每份水样恰好含 4 只水蚤的概率为 $1-0.908773\ldots$。5 份独立水样中满足这一条件的份数服从二项分布，所求为恰好成功 1 次。

Let $Y$ be the number of the 5 samples that contain exactly 4 water fleas. Then

Hence,

水蚤数量的均值与水样体积成正比，因此 $n$ ml 水样的泊松均值为 $0.07n$。以同均值、同方差的正态分布近似，并对“多于 3”使用 $3.5$ 的连续性修正。由下尾概率 $0.0606$ 查得标准正态值 $-1.55$，再整理成题目要求的形式。

Let $A$ be the number of water fleas in an $n$ ml sample. Its Poisson mean is

Using a normal approximation,

Since $P(A>3)=0.9394$,

Applying the continuity correction and using $\Phi(-1.55)=0.0606$,

Therefore,

as required.

令 $y=\sqrt n$，把含根号的方程化为关于 $y$ 的二次方程。由于 $\sqrt n\geqslant0$，需要舍去负根，再平方求出 $n$。

Let $y=\sqrt n$, where $y\geqslant0$. The equation from part (c)(i) becomes

Using the quadratic formula gives

Rejecting the negative value because $y=\sqrt n\geqslant0$,

“数量增加”对应泊松均值的右尾检验，因此备择假设为 $\lambda>7$。在原假设下计算出现至少 15 只水蚤的概率，并与显著性水平 $0.01$ 比较。

Let $X$ be the number of water fleas in a 100 ml sample. Test

Under $H_0$, $X\sim\operatorname{Po}(7)$. The $p$-value is

Since $0.00572<0.01$, reject $H_0$. There is evidence at the 1% level of significance that the mean number of water fleas per 100 ml of pond water has increased.

也可以使用临界域完成同一个右尾检验。比较相邻两个右尾概率，找出累计概率首次不超过 $0.01$ 的最小水蚤数。

Use the same hypotheses:

Under $H_0$,

and

Therefore the 1% upper-tail critical region is

The observed value, $15$, lies in the critical region, so reject $H_0$. There is evidence at the 1% level of significance that the mean number of water fleas per 100 ml of pond water has increased.