题目
A continuous random variable X has probability density function
k(a-x)^2 & 0 \leqslant x \leqslant a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ where k and a are constants. (a) Show that ka^3 = 3 <div style="text-align: right;">(3)</div> Given that E(X) = 1.5 (b) use algebraic integration to show that a = 6 <div style="text-align: right;">(4)</div> (c) Verify that the median of X is 1.2 to one decimal place. <div style="text-align: right;">(3)</div> (Total for Question 4 is 10 marks)题目中文翻译
连续随机变量 的概率密度函数为
k(a-x)^2 & 0 \leqslant x \leqslant a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ 其中 $k$ 和 $a$ 为常数。 (a) 证明 $ka^3=3$。 已知 $E(X)=1.5$。 (b) 使用代数积分证明 $a=6$。 (c) 验证 $X$ 的中位数在一位小数精度下为 1.2。 （第 4 题共 10 分） </details> # 解答 ## (a) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 概率密度函数在整个定义域上的积分必须等于 1。展开 $(a-x)^2$ 后逐项积分，即可得到 $k$ 与 $a$ 的关系。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Since the total probability is 1,\begin{align*} 1=&,\int_0^a k(a-x)^2,\mathrm{d}x \[4mm] =&,k\int_0^a(a^2-2ax+x^2),\mathrm{d}x \[4mm] =&,k\left[a^2x-ax^2+\frac{x^3}{3}\right]_0^a \[4mm] =&,k\left(a^3-a^3+\frac{a^3}{3}\right) \[4mm] =&,\frac{ka^3}{3}. \end{align*}
\boxed{ka^3=3},
as required. </details> ### 解法二 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 也可以直接把 $(a-x)^2$ 看作复合函数积分，不必展开。其原函数为 $-(a-x)^3/3$，代入上下限后立即得到所需关系。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary>\begin{align*} 1=&,\int_0^a k(a-x)^2,\mathrm{d}x \[4mm] =&,\left[-\frac{k(a-x)^3}{3}\right]_0^a \[4mm] =&,0-\left(-\frac{ka^3}{3}\right) \[4mm] =&,\frac{ka^3}{3}. \end{align*}
\boxed{ka^3=3}.
</details> ## (b) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 根据期望定义计算 $E(X)=\int_0^a xf(x)\,\mathrm{d}x$。把被积式展开并逐项积分，所得等式再与 (a) 的 $ka^3=3$ 联立，消去 $k$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Using $E(X)=1.5$,\begin{align*} 1.5=&,\int_0^a kx(a-x)^2,\mathrm{d}x \[4mm] =&,k\int_0^a(a^2x-2ax^2+x^3),\mathrm{d}x \[4mm] =&,k\Bigg[\frac{a^2x^2}{2}-\frac{2ax^3}{3} \[4mm] &,\hspace{2pt}+\frac{x^4}{4}\Bigg]_0^a \[4mm] =&,ka^4\left(\frac12-\frac23+\frac14\right) \[4mm] =&,\frac{ka^4}{12}. \end{align*}
Thus $ka^4=18$. From part (a), $ka^3=3$, soa=\frac{ka^4}{ka^3} =\frac{18}{3} =\boxed{6},
as required. </details> ### 解法二 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 官方评分资料也接受不展开被积式的积分路线。对 $\int kx(a-x)^2\,\mathrm{d}x$ 使用分部积分，可直接得到 $ka^4/12$，再利用 (a) 消去 $k$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Letu=x, \qquad \mathrm{d}v=k(a-x)^2,\mathrm{d}x.
\mathrm{d}u=\mathrm{d}x, \qquad v=-\frac{k(a-x)^3}{3}.
\begin{align*} 1.5 =&,\int_0^a kx(a-x)^2,\mathrm{d}x \[4mm] =&,\left[-\frac{kx(a-x)^3}{3}\right]_0^a \[4mm] &,\hspace{2pt}+\frac{k}{3}\int_0^a(a-x)^3,\mathrm{d}x \[4mm] =&,0+\frac{k}{3}\left(\frac{a^4}{4}\right) \[4mm] =&,\frac{ka^4}{12}. \end{align*}
Hence $ka^4=18$. Using $ka^3=3$ from part (a),a=\frac{18}{3}=\boxed{6}.
</details> ## (c) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 由 $a=6$ 和 $ka^3=3$ 求出 $k=1/72$，再写出累积分布函数。若中位数四舍五入到一位小数为 1.2，它应落在 $[1.15,1.25)$ 内；分别计算两个端点的累积概率并与 $0.5$ 比较即可验证。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Since $a=6$ and $ka^3=3$,k=\frac{3}{6^3}=\frac1{72}.
For $0\leqslant x\leqslant6$,\begin{align*} F(x) =&,\int_0^x\frac1{72}(6-t)^2,\mathrm{d}t \[4mm] =&,\frac1{72} \left[36t-6t^2+\frac{t^3}{3}\right]_0^x \[4mm] =&,\frac1{72} \left(36x-6x^2+\frac{x^3}{3}\right). \end{align*}
F(1.15)=0.4718\ldots
F(1.25)=0.5038\ldots.
F(1.15)<0.5<F(1.25).
Therefore the median lies between $1.15$ and $1.25$, so it is\boxed{1.2\text{ to one decimal place}}.
</details> ### 解法二 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 另一条官方允许的路线是直接解中位数方程 $F(m)=0.5$。使用补概率形式的累积分布函数可把三次方程迅速化简，并得到中位数的数值。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For $0\leqslant x\leqslant6$,F(x)=1-\frac{(6-x)^3}{216}.
Let the median be $m$. Then\begin{align*} F(m)=0.5 &\implies 1-\frac{(6-m)^3}{216}=0.5 \[4mm] &\implies (6-m)^3=108 \[4mm] &\implies m=6-\sqrt[3]{108} \[4mm] &\implies m=1.2377\ldots. \end{align*}
\boxed{1.2\text{ to one decimal place}}.