题目

Problem

A continuous random variable $X$ has probability density function

\begin{align*} &\,f(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,k(a-x)^2\\[-1mm] &\,\quad \text{for }0 \leqslant x \leqslant a \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad \text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

where $k$ and $a$ are constants.

(a) Show that $ka^3=3$

(3)

Given that $E(X)=1.5$

(b) use algebraic integration to show that $a=6$

(4)

(3)

(Total for Question 4 is 10 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为

\begin{align*} &\,f(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,k(a-x)^2\\[-1mm] &\,\quad \text{for }0 \leqslant x \leqslant a \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad \text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

其中 $k$ 和 $a$ 为常数。

(a) 证明 $ka^3=3$ 。

(3)

已知 $E(X)=1.5$ 。

(b) 使用代数积分证明 $a=6$ 。

(4)

(3)

（第 4 题共 10 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

概率密度函数在整个定义域上的积分必须等于 1。展开 $(a-x)^2$ 后逐项积分，即可得到 $k$ 与 $a$ 的关系。

答题过程

展开

Since the total probability is 1,

\begin{align*} &\,1\\ =&\,\int_0^a k(a-x)^2\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\,k\int_0^a(a^2-2ax+x^2)\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\,k\left[a^2x-ax^2+\frac{x^3}{3}\right]_0^a \\[4mm] =&\,k\left(a^3-a^3+\frac{a^3}{3}\right) \\[4mm] =&\,\frac{ka^3}{3}. \end{align*}

Therefore,

\boxed{ka^3=3},

as required.

解法二

思路

展开

也可以直接把 $(a-x)^2$ 看作复合函数积分，不必展开。其原函数为 $-(a-x)^3/3$ ，代入上下限后立即得到所需关系。

答题过程

展开

\begin{align*} 1=&\,\int_0^a k(a-x)^2\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\,\left[-\frac{k(a-x)^3}{3}\right]_0^a \\[4mm] =&\,0-\left(-\frac{ka^3}{3}\right) \\[4mm] =&\,\frac{ka^3}{3}. \end{align*}

Hence,

\boxed{ka^3=3}.

(b)

解法一

思路

展开

根据期望定义计算 $E(X)=\int_0^a xf(x)\,\mathrm{d}x$ 。把被积式展开并逐项积分，所得等式再与 (a) 的 $ka^3=3$ 联立，消去 $k$ 。

答题过程

展开

Using $E(X)=1.5$ ,

\begin{align*} &\,1.5\\ =&\,\int_0^a kx(a-x)^2\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\,k\int_0^a\big(a^2x-2ax^2\\ &\,\hspace{2pt}+x^3\big)\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\,k\Big[\frac{a^2x^2}{2}-\frac{2ax^3}{3} \\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac{x^4}{4}\Big]_0^a \\[4mm] =&\,ka^4\left(\frac12-\frac23+\frac14\right) \\[4mm] =&\,\frac{ka^4}{12}. \end{align*}

Thus $ka^4=18$ . From part (a), $ka^3=3$ , so

a=\frac{ka^4}{ka^3} =\frac{18}{3} =\boxed{6},

as required.

解法二

思路

展开

也可以不展开被积式。对 $\int kx(a-x)^2\,\mathrm{d}x$ 使用分部积分，可直接得到 $ka^4/12$ ，再利用 (a) 消去 $k$ 。

答题过程

展开

Let

\begin{align*} u=&\,x,\\ \mathrm{d}v=&\,k(a-x)^2\,\mathrm{d}x. \end{align*}

Then

\begin{align*} \mathrm{d}u=&\,\mathrm{d}x,\\ v=&\,-\frac{k(a-x)^3}{3}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} 1.5 =&\,\int_0^a kx(a-x)^2\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\,\left[-\frac{kx(a-x)^3}{3}\right]_0^a \\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac{k}{3}\int_0^a(a-x)^3\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\,0+\frac{k}{3}\left(\frac{a^4}{4}\right) \\[4mm] =&\,\frac{ka^4}{12}. \end{align*}

Hence $ka^4=18$ . Using $ka^3=3$ from part (a),

a=\frac{18}{3}=\boxed{6}.

(c)

解法一

思路

展开

由 $a=6$ 和 $ka^3=3$ 求出 $k=1/72$ ，再写出累积分布函数。若中位数四舍五入到一位小数为 1.2，它应落在 $[1.15,1.25)$ 内；分别计算两个端点的累积概率并与 $0.5$ 比较即可验证。

答题过程

展开

Since $a=6$ and $ka^3=3$ ,

k=\frac{3}{6^3}=\frac1{72}.

For $0\leqslant x\leqslant6$ ,

\begin{align*} &\,F(x)\\ =&\,\int_0^x\frac1{72}(6-t)^2\,\mathrm{d}t \\[4mm] =&\,\frac1{72} \left[36t-6t^2+\frac{t^3}{3}\right]_0^x \\[4mm] =&\,\frac1{72} \left(36x-6x^2+\frac{x^3}{3}\right). \end{align*}

At the rounding boundaries,

F(1.15)=0.4718\ldots

and

F(1.25)=0.5038\ldots.

Hence

F(1.15)<0.5<F(1.25).

Therefore the median lies between $1.15$ and $1.25$ , so it is

\boxed{1.2\text{ to one decimal place}}.

解法二

思路

展开

另一种方法是直接解中位数方程 $F(m)=0.5$ 。使用补概率形式的累积分布函数可把三次方程迅速化简，并得到中位数的数值。

答题过程

展开

For $0\leqslant x\leqslant6$ ,

F(x)=1-\frac{(6-x)^3}{216}.

Let the median be $m$ . Then

\begin{align*} &\,F(m)=0.5\\ \implies&\,1-\frac{(6-m)^3}{216}=0.5\\ \implies&\,(6-m)^3=108\\ \implies&\,m=6-\sqrt[3]{108}\\ \implies&\,m=1.2377\ldots. \end{align*}

Thus the median is

\boxed{1.2\text{ to one decimal place}}.

S2 2021 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程