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IAL 2021 Jan S2 Q5

A Level / Edexcel / S2

IAL 2021 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

A piece of wood AB is 3 metres long. The wood is cut at random at a point C and the random variable W represents the length of the piece of wood AC.

(a) Find the probability that the length of the piece of wood AC is more than 1.8 metres.

(2)

The two pieces of wood AC and CB form the two shortest sides of a right-angled triangle. The random variable X represents the length of the longest side of the right-angled triangle.

(b) Show that X^2 = 2W^2 - 6W + 9

(2)

[You may assume for random variables S, T and U and for constants a and b that if S = aT + bU then E(S) = aE(T) + bE(U)]

(c) Find E(X^2)

(6)

(d) Find P(X^2 > 5)

(4)

(Total for Question 5 is 14 marks)

题目中文翻译

一块木头 AB 长 3 米。木头在点 C 处随机切开，随机变量 WW 表示木段 AC 的长度。

(a) 求木段 AC 长度大于 1.8 米的概率。

木段 AC 和 CB 构成一个直角三角形的两条最短边。随机变量 XX 表示该直角三角形最长边的长度。

(b) 证明 X2=2W2−6W+9X^2=2W^2-6W+9。

[你可以假设：对于随机变量 S、T、U 以及常数 a、b，如果 S=aT+bUS=aT+bU，则 E(S)=aE(T)+bE(U)E(S)=aE(T)+bE(U)]

(c) 求 E(X2)E(X^2)。

(d) 求 P(X2>5)P(X^2>5)。

（第 5 题共 14 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

木头在长度 3 米的范围内随机切开，因此 WW 在 [0,3][0,3] 上服从均匀分布。所求概率等于区间 (1.8,3](1.8,3] 的长度除以总长度。

答题过程

展开

Since the cut is made at random,

W∼U[0,3].W\sim U[0,3].

Therefore,

P(W>1.8)=3−1.83=0.4.P(W>1.8)=\frac{3-1.8}{3} =\boxed{0.4}.

(b)

解法一

思路

展开

直角三角形的两条直角边分别为 WW 与 3−W3-W。使用勾股定理写出斜边平方，再完整展开并合并同类项。

答题过程

展开

By Pythagoras’ theorem,

X2= W2+(3−W)2= W2+9−6W+W2= 2W2−6W+9,\begin{align*} X^2 =&\,W^2+(3-W)^2 \\[4mm] =&\,W^2+9-6W+W^2 \\[4mm] =&\,2W^2-6W+9, \end{align*}

as required.

(c)

解法一

思路

展开

先用均匀分布公式求 E(W)E(W) 与 Var⁡(W)\operatorname{Var}(W)，再由 E(W2)=Var⁡(W)+[E(W)]2E(W^2)=\operatorname{Var}(W)+[E(W)]^2 得到二阶矩。最后对 (b) 的等式两边取期望。

答题过程

展开

For W∼U[0,3]W\sim U[0,3],

E(W)=0+32=1.5E(W)=\frac{0+3}{2}=1.5

and

Var⁡(W)=(3−0)212=34.\operatorname{Var}(W)=\frac{(3-0)^2}{12}=\frac34.

Therefore,

E(W2)= Var⁡(W)+[E(W)]2= 34+(1.5)2= 3.\begin{align*} E(W^2) =&\,\operatorname{Var}(W)+[E(W)]^2 \\[4mm] =&\,\frac34+(1.5)^2 \\[4mm] =&\,3. \end{align*}

Using the result from part (b),

E(X2)= 2E(W2)−6E(W)+9= 2(3)−6(1.5)+9= 6.\begin{align*} E(X^2) =&\,2E(W^2)-6E(W)+9 \\[4mm] =&\,2(3)-6(1.5)+9 \\[4mm] =&\,\boxed{6}. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受直接积分求 E(W2)E(W^2)。WW 在 [0,3][0,3] 上的密度为 1/31/3，积分得到二阶矩后，再代入 (b) 的期望关系。

答题过程

展开

The density of WW on [0,3][0,3] is 1/31/3. Thus,

E(W2)= ∫03w2(13) dw= 13[w33]03= 3.\begin{align*} E(W^2) =&\,\int_0^3 w^2\left(\frac13\right)\,\mathrm{d}w \\[4mm] =&\,\frac13\left[\frac{w^3}{3}\right]_0^3 \\[4mm] =&\,3. \end{align*}

Also, E(W)=1.5E(W)=1.5. Hence

E(X2)= 2E(W2)−6E(W)+9= 2(3)−6(1.5)+9= 6.\begin{align*} E(X^2) =&\,2E(W^2)-6E(W)+9 \\[4mm] =&\,2(3)-6(1.5)+9 \\[4mm] =&\,\boxed{6}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

把 (b) 中的 X2X^2 代入不等式，移项并因式分解。二次式开口向上，所以大于 0 的范围在两个根的外侧；最后与 W∈[0,3]W\in[0,3] 相交，并把两段区间长度相加。

答题过程

展开 X2> 52W2−6W+9> 52W2−6W+4> 02(W−1)(W−2)> 0.\begin{align*} X^2>&\,5 \\[4mm] 2W^2-6W+9>&\,5 \\[4mm] 2W^2-6W+4>&\,0 \\[4mm] 2(W-1)(W-2)>&\,0. \end{align*}

Therefore,

W<1orW>2.W<1\quad\text{or}\quad W>2.

Since W∼U[0,3]W\sim U[0,3],

P(X2>5)= P(W<1)+P(W>2)= 13+13= 23.\begin{align*} P(X^2>5) =&\,P(W<1)+P(W>2) \\[4mm] =&\,\frac13+\frac13 \\[4mm] =&\,\boxed{\frac23}. \end{align*}