一位大型青年俱乐部的负责人设计了一种新的分组方法。在引入该方法之前，他决定了解俱乐部成员可能的反应。

(a) 解释为什么负责人决定抽取俱乐部成员的随机样本，而不是询问所有成员。

(b) 提出一个合适的抽样框。

(c) 指出抽样单位。

新的方法使用一个装有许多球的袋子。每个球上写着 20、50 或 70 之一。

随机选取一个球时，随机变量 $X$ 表示球上的数字，其中

$P(X=20)=p,\; P(X=50)=q,\; P(X=70)=r$。

一名俱乐部成员从袋中取出一个球，记下数字后放回袋中。 然后再取出第二个球，记下数字后再放回袋中。 随机变量 $M$ 表示记录下的两个数字的平均数。

已知 $P(M=20)=\dfrac{25}{64}$、$P(M=60)=\dfrac{1}{16}$，且 $q>r$。

(d) 证明 $P(M=50)=\dfrac{1}{16}$。

（第 6 题共 10 分）

青年俱乐部规模很大，询问全体成员需要更多时间、费用与工作量。随机样本可以用较少资源了解总体反应。

Taking a random sample is quicker and cheaper than asking every member of the very large youth club.

抽样框必须覆盖总体中的所有成员，因此可以使用俱乐部全体成员的完整名册、登记册或数据库。

A suitable sampling frame is a complete list, register or database of all youth club members.

抽样单位是实际被逐个抽取的对象；本题从青年俱乐部成员中抽样，所以每一名成员就是一个抽样单位。

The sampling units are the individual youth club members.

两次抽球均放回，因此相互独立且每次概率相同。平均数为 20 只可能抽到两个 20，由此求 $p$；平均数为 60 只可能抽到 50 与 70，且有两个次序，由此得到 $qr$。再结合 $p+q+r=1$ 求出 $q,r$，并用 $q>r$ 选择正确对应关系。

For $M=20$, both selected balls must be numbered 20. Hence

Since $p$ is a probability,

Also, $p+q+r=1$, so

For $M=60$, the two numbers must be 50 and 70 in either order. Therefore,

Thus $q$ and $r$ are the roots of

Equivalently,

Hence the two values are $1/8$ and $1/4$. Since $q>r$,

The mean is 50 only when both balls are numbered 50. Therefore,

as required.