连续随机变量 $Y$ 的概率密度函数为

(a) 画出 $f(y)$ 的图像。

(b) 求 $Y$ 的众数。

(c) 使用代数积分求 $E(Y^2)$。

已知 $E(Y)=2.696$。

(d) 求 $\mathrm{Var}(Y)$。

(e) 求满足 $P(Y \geqslant y)=0.9$ 的 $y$ 值，并将答案取 3 位有效数字。

（第 3 题共 15 分）

在 $1\leqslant y<2$，图像是一条从 $(1,0)$ 上升到左极限 $(2,6/25)$ 的直线。在 $y=2$，第二段给出函数值 $12/25$，所以此处有跳跃；随后曲线先上升，在 $y=8/3$ 达到峰值，再下降至 $(4,0)$。定义域外密度为 0。

The sketch has the following key features:

• $f(y)=0$ for $y<1$ and for $y\geqslant4$;
• a straight line from $(1,0)$ towards $(2,6/25)$ for $1\leqslant y<2$;
• a jump at $y=2$, where $f(2)=12/25$;
• a curved section with a maximum at $y=8/3$, returning to $(4,0)$.

第一段密度一直递增，但其最高值不超过 $6/25$；第二段从 $12/25$ 开始，显然更高。因此只需对第二段密度求导，令导数为 0，并排除不在区间内或不是内部峰值的解。

For $2\leqslant y<4$,

Differentiating,

Setting $f'(y)=0$ gives

The value $y=0$ is outside this part of the support. Also,

and

Thus the density has its global maximum at

二阶矩定义为 $E(Y^2)=\int y^2f(y)\,\mathrm{d}y$。密度函数在 $y=2$ 前后表达式不同，所以必须拆成两个定积分，并完整展开后逐项积分。

利用 (c) 求出的精确二阶矩，并代入题目给出的 $E(Y)=2.696$。用二阶矩减去均值的平方，即可得到方差。

Using the result from part (c),

$P(Y\geqslant y)=0.9$ 等价于左侧面积为 $0.1$。先算第一段在 $[1,2]$ 下方的总面积为 $3/25=0.12$，因此所求 $y$ 位于第一段。该部分是三角形，可直接用底乘高的一半建立方程。

Since

and

the required value lies in $1<y<2$.

The area under the straight-line section from 1 to $y$ is a triangle, so

Thus,

Only the positive sign gives a value in $[1,2)$, so

也可以直接积分。由所求分位数位于 $[1,2)$，把第一段密度从 1 积分到 $y$ 并令结果等于 $0.1$，即可得到同一个方程。

For $1<y<2$,

Therefore,

where the other algebraic solution is rejected because it is outside the interval $[1,2)$.