题目
The continuous random variable Y has the following probability density function
\dfrac{6}{25}(y-1) & 1 \leqslant y < 2 \\ \dfrac{3}{50}(4y^2-y^3) & 2 \leqslant y < 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (a) Sketch f(y) <div style="text-align: right;">(2)</div> (b) Find the mode of Y <div style="text-align: right;">(3)</div> (c) Use algebraic integration to calculate E(Y^2) <div style="text-align: right;">(4)</div> Given that E(Y) = 2.696 (d) find Var(Y) <div style="text-align: right;">(2)</div> (e) Find the value of y for which P(Y \geqslant y) = 0.9 Give your answer to 3 significant figures. <div style="text-align: right;">(4)</div> (Total for Question 3 is 15 marks)题目中文翻译
连续随机变量 的概率密度函数为
\dfrac{6}{25}(y-1) & 1 \leqslant y < 2 \\ \dfrac{3}{50}(4y^2-y^3) & 2 \leqslant y < 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (a) 画出 $f(y)$ 的图像。 (b) 求 $Y$ 的众数。 (c) 使用代数积分求 $E(Y^2)$。 已知 $E(Y)=2.696$。 (d) 求 $\mathrm{Var}(Y)$。 (e) 求满足 $P(Y \geqslant y)=0.9$ 的 $y$ 值，并将答案取 3 位有效数字。 （第 3 题共 15 分） </details> # 解答 ## (a) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 在 $1\leqslant y<2$，图像是一条从 $(1,0)$ 上升到左极限 $(2,6/25)$ 的直线。在 $y=2$，第二段给出函数值 $12/25$，所以此处有跳跃；随后曲线先上升，在 $y=8/3$ 达到峰值，再下降至 $(4,0)$。定义域外密度为 0。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> The sketch has the following key features: - $f(y)=0$ for $y<1$ and for $y\geqslant4$; - a straight line from $(1,0)$ towards $(2,6/25)$ for $1\leqslant y<2$; - a jump at $y=2$, where $f(2)=12/25$; - a curved section with a maximum at $y=8/3$, returning to $(4,0)$. <p align="center"> <img src="" width="420"> </p> </details> ## (b) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 第一段密度一直递增，但其最高值不超过 $6/25$；第二段从 $12/25$ 开始，显然更高。因此只需对第二段密度求导，令导数为 0，并排除不在区间内或不是内部峰值的解。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For $2\leqslant y<4$,f(y)=\frac3{50}(4y^2-y^3).
\begin{align*} f’(y) =&,\frac3{50}(8y-3y^2) \[4mm] =&,\frac{3y}{50}(8-3y). \end{align*}
Setting $f'(y)=0$ givesy=0 \quad\text{or}\quad y=\frac83.
The value $y=0$ is outside this part of the support. Also,f’(y)>0\quad\text{for }2<y<\frac83
f’(y)<0\quad\text{for }\frac83<y<4.
\boxed{\operatorname{mode}(Y)=\frac83}.
</details> ## (c) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 二阶矩定义为 $E(Y^2)=\int y^2f(y)\,\mathrm{d}y$。密度函数在 $y=2$ 前后表达式不同，所以必须拆成两个定积分，并完整展开后逐项积分。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary>\begin{align*} E(Y^2) =&,\int_1^2 y^2\frac6{25}(y-1),\mathrm{d}y \[4mm] &,\hspace{2pt}+\int_2^4 y^2\frac3{50} (4y^2-y^3),\mathrm{d}y \[4mm] =&,\int_1^2\left(\frac6{25}y^3 -\frac6{25}y^2\right),\mathrm{d}y \[4mm] &,\hspace{2pt}+\int_2^4\left(\frac{12}{50}y^4 -\frac3{50}y^5\right),\mathrm{d}y \[4mm] =&,\left[\frac6{100}y^4-\frac6{75}y^3\right]_1^2 \[4mm] &,\hspace{2pt}+\left[\frac{12}{250}y^5 -\frac3{300}y^6\right]_2^4 \[4mm] =&,\left[\frac8{25}-\left(-\frac1{50}\right)\right] \[4mm] &,\hspace{2pt}+\left[\frac{1024}{125} -\frac{112}{125}\right] \[4mm] =&,\frac{17}{50}+\frac{912}{125} \[4mm] =&,\frac{1909}{250} \[4mm] =&,\boxed{7.636}. \end{align*}
</details> ## (d) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 利用 (c) 求出的精确二阶矩，并代入题目给出的 $E(Y)=2.696$，使用方差公式 $\operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Using the result from part (c),\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&,E(Y^2)-[E(Y)]^2 \[4mm] =&,\frac{1909}{250}-(2.696)^2 \[4mm] =&,0.367584 \[4mm] =&,\boxed{0.368}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}
</details> ## (e) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> $P(Y\geqslant y)=0.9$ 等价于左侧面积为 $0.1$。先算第一段在 $[1,2]$ 下方的总面积为 $3/25=0.12$，因此所求 $y$ 位于第一段。该部分是三角形，可直接用底乘高的一半建立方程。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> SinceP(Y\leqslant y)=1-0.9=0.1,
P(Y<2)=\frac12(2-1)\left(\frac6{25}\right) =\frac3{25}=0.12,
the required value lies in $1<y<2$. The area under the straight-line section from 1 to $y$ is a triangle, so\frac12(y-1)\left[\frac6{25}(y-1)\right]=0.1.
\begin{align*} \frac3{25}(y-1)^2=&,\frac1{10} \[4mm] (y-1)^2=&,\frac56 \[4mm] y=&,1\pm\sqrt{\frac56}. \end{align*}
Only the positive sign gives a value in $[1,2)$, soy=1+\sqrt{\frac56} =1.91287\ldots =\boxed{1.91}\quad\text{(3 s.f.)}.
</details> ### 解法二 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 官方评分资料也接受直接积分。由所求分位数位于 $[1,2)$，把第一段密度从 1 积分到 $y$ 并令结果等于 $0.1$，即可得到同一个方程。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For $1<y<2$,\begin{align*} \int_1^y\frac6{25}(t-1),\mathrm{d}t=&,0.1 \[4mm] \frac6{25}\left[\frac{t^2}{2}-t\right]_1^y =&,0.1 \[4mm] \frac3{25}(y-1)^2=&,0.1. \end{align*}
y=1+\sqrt{\frac56} =\boxed{1.91}\quad\text{(3 s.f.)},
where the other algebraic solution is rejected because it is outside the interval $[1,2)$. </details>