一项关于食物购买的研究发现，在购买鸡蛋的人中，有 35% 的人不购买散养鸡蛋。

随机抽取 30 名购买了鸡蛋的人。随机变量 F 表示其中不购买散养鸡蛋的人数。

(a) 求 $P(F \geqslant 12)$。

(b) 求 $P(8 \leqslant F < 15)$。

一家农场商店每购买一盒散养鸡蛋给 3 个积分；每购买一盒非散养鸡蛋给 1 个积分。

随机抽取 30 位在该农场商店购买鸡蛋的顾客。

(c) 求这 30 位顾客总共获得的积分少于 70 的概率。

该农场商店经理认为，购买鸡蛋但不购买散养鸡蛋的顾客比例超过 35%。

在对 200 位购买鸡蛋的顾客做调查时，86 人不购买散养鸡蛋。

使用合适的检验和正态近似，

(d) 在 5% 显著性水平下，判断是否有证据支持经理的看法，并清楚写出假设。

（第 1 题共 14 分）

30 人中每人不购买散养鸡蛋的概率为 $0.35$，所以 $F$ 服从二项分布。「至少 12 人」是右尾事件，用 1 减去至多 11 人的累积概率。

The number of people who do not buy free range eggs follows

Therefore,

Hence the required probability is $\boxed{0.345}$ to 3 significant figures.

由于 $F$ 只取整数，$8\leqslant F<15$ 等价于 $8\leqslant F\leqslant14$。用至多 14 人的累积概率减去至多 7 人的累积概率。

Using $F\sim\operatorname{B}(30,0.35)$,

Therefore, the required probability is $\boxed{0.811}$ to 3 significant figures.

用 $F$ 表示购买非散养鸡蛋的顾客数，则其余 $30-F$ 人购买散养鸡蛋。把总积分写成 $3(30-F)+F$，解出总积分少于 70 对应的 $F$ 的整数范围，再计算二项分布右尾概率。

If $F$ customers buy eggs that are not free range, then $30-F$ customers buy free range eggs. The total number of points is

For the total to be less than 70,

Therefore,

Hence the required probability is $\boxed{0.492}$ to 3 significant figures.

也可以改用购买散养鸡蛋的顾客数 $R$。此时 $R\sim\operatorname{B}(30,0.65)$，总积分为 $3R+(30-R)$；解不等式得到 $R<20$，再求相应左尾概率。

Let $R$ be the number of customers who buy free range eggs. Then

The total number of points is

Thus,

Since $R$ is an integer,

令 $p$ 为购买鸡蛋但不购买散养鸡蛋的顾客比例。经理认为比例增加，所以使用右尾检验。在原假设下，200 人中的人数服从二项分布，并用均值 70、方差 45.5 的正态分布近似。观察到 86 人，对右尾作连续性修正后计算 $p$ 值，再与 0.05 比较并写出情境化结论。

Let $p$ be the proportion of customers who buy eggs but do not buy free range eggs. The hypotheses are

Let $Y$ be the number of such customers in the sample of 200. Under $H_0$,

Using a normal approximation,

since

Applying a continuity correction,

Since $0.0108<0.05$, reject $H_0$. There is sufficient evidence at the 5% significance level to support the manager’s belief that the proportion of customers who buy eggs but do not buy free range eggs is greater than 35%.

也可以先用同一个正态近似求 5% 右尾检验的临界区域。把带连续性修正的边界标准化并令其等于标准正态的 95% 分位数 $1.6449$，求出最小临界整数；观察值 86 落在临界区域内，因此结论相同。

Use the same hypotheses and the approximation

Let the critical region be $Y\geqslant c$. With a continuity correction,

Hence,

Therefore, the critical region is

Since the observed value $Y=86$ lies in the critical region, reject $H_0$. There is sufficient evidence at the 5% significance level to support the manager’s belief that the proportion is greater than 35%.