(i) 连续随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上服从均匀分布。

已知 $P(8 < X < 14) = \frac15$ 且 $E(X)=11$。

(a) 写下 $P(X>14)$。

(b) 求 $P(6X > a+b)$。

(ii) Susie 做了一条 $45\,\mathrm{cm}$ 长的意大利面条。她在一个随机位置把面条切成两段。随机变量 $S$ 表示较短那一段的长度。

(a) 写下 $S$ 的分布。

(b) 计算较短那一段少于 $12\,\mathrm{cm}$ 的概率。

Susie 做了 20 条 $45\,\mathrm{cm}$ 长的面条，并分别在随机位置切成两段。

(c) 计算恰好有 6 段面条长度少于 $12\,\mathrm{cm}$ 的概率。

（第 2 题共 11 分）

均匀分布的均值是区间中点，所以 $a+b=22$。区间 $(8,14)$ 也以 11 为中点，因此在整个均匀分布区间内，位于 14 右侧的部分与位于 8 左侧的部分等长；除去中间概率 $1/5$ 后，余下概率平均分到两侧。

Since

the distribution is symmetric about 11. The interval $(8,14)$ is also symmetric about 11, so the remaining probability is divided equally between its two sides. Therefore,

先用均匀分布中「概率等于长度比例」求总区间长度 $b-a$，再与 $a+b=22$ 联立求出端点。最后把不等式 $6X>a+b$ 化为关于 $X$ 的阈值，并再次用长度比例计算概率。

For a uniform distribution,

Hence,

Also, $E(X)=11$ gives $a+b=22$. Solving these simultaneous equations,

Now,

Therefore,

均值 11 是分布区间的中点，也是 $(8,14)$ 的中点。中间一段的概率为 $1/5$，两侧各为 $2/5$；均匀分布中，长度与概率成正比，所以两侧各长 $2(14-8)=12$。直接向左右延伸便可求出端点，再用长度比例求概率。

The interval $(8,14)$ is centred at the mean 11. Each outer interval has probability $2/5$, twice that of $(8,14)$, so each has length $2(14-8)=12$.

Therefore,

Since $a+b=22$, the event $6X>a+b$ is equivalent to $X>11/3$. Hence,

切点在 45 cm 长的面条上均匀分布。较短一段的长度从 0 增至最大值 $22.5$ cm；每个可能的较短长度都对应左右对称的两个切点，因此其密度为原切点密度的两倍，并在该区间上保持常数。

The shortest piece can have any length from 0 to $22.5$ cm, with constant density. Therefore,

Equivalently,

由 (ii)(a)，$S$ 在 $[0,22.5]$ 上均匀分布，所以所求概率就是区间 $[0,12)$ 的长度占总区间长度的比例。

Using $S\sim\operatorname{U}(0,22.5)$,

每条面条中不可能有两段都短于 12 cm，因为两段总长为 45 cm。因此「有一段短于 12 cm」等价于「较短一段短于 12 cm」，单条面条的成功概率为 $8/15$。20 条分别独立切割，所以用二项分布计算恰好 6 条成功的概率。

Let $T$ be the number of the 20 strips that produce a piece shorter than 12 cm. From part (ii)(b),

Therefore,

Hence the required probability is $\boxed{0.0207}$ to 3 significant figures.