题目
Problem
A continuous random variable X has cumulative distribution function
0 & x<0 \\ 4ax^2 & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ a(bx^3-x^4+1) & 1 < x \leqslant 3 \\ 1 & x>3 \end{cases}$$ where a and b are positive constants. (a) Show that b = 4 <div style="text-align: right;">(1)</div> (b) Find the exact value of a <div style="text-align: right;">(2)</div> (c) Find P(X > 2.25) <div style="text-align: right;">(2)</div> (d) Showing your working clearly, (i) sketch the probability density function of X (ii) calculate the mode of X <div style="text-align: right;">(5)</div> (Total for Question 3 is 10 marks)题目中文翻译
随机变量 的累计分布函数为
0 & x<0 \\ 4ax^2 & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ a(bx^3-x^4+1) & 1 < x \leqslant 3 \\ 1 & x>3 \end{cases}$$ 其中 $a$ 和 $b$ 为正常数。 (a) 证明 $b=4$。 (b) 求 $a$ 的精确值。 (c) 求 $P(X>2.25)$。 (d) 清楚写出你的过程， (i) 画出 $X$ 的概率密度函数草图。 (ii) 求 $X$ 的众数。 （第 3 题共 10 分） </details> # 解答 ## (a) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 累积分布函数必须连续。令 $x=1$ 左右两段的表达式相等，再利用 $a$ 为正数，所以可以约去 $a$，自然推出 $b=4$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Continuity of $F$ at $x=1$ gives4a(1)^2=a(b(1)^3-1^4+1).
4a=ab.
Since $a>0$, it follows that\boxed{b=4},
as required. </details> ## (b) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 支持区间的右端点为 3，而 $x>3$ 时 $F(x)=1$。利用累积分布函数在 $x=3$ 连续，把 $b=4$ 代入第三段并令 $F(3)=1$，即可求出 $a$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Continuity at $x=3$ givesa(27b-81+1)=1.
Using $b=4$,\begin{align*} a(108-81+1)=&,1 \[4mm] 28a=&,1. \end{align*}
\boxed{a=\frac1{28}}.
</details> ## (c) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 由于 $2.25$ 位于第三段，先把 (a)、(b) 求得的 $a,b$ 代入该段计算 $F(2.25)$，再用补事件 $P(X>2.25)=1-F(2.25)$。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Using $a=1/28$ and $b=4$,\begin{align*} P(X>2.25)=&,1-F(2.25) \[4mm] =&,1-\frac1{28} \left[4(2.25)^3-(2.25)^4+1\right] \[4mm] =&,\frac{1809}{7168} \[4mm] =&,0.252372\ldots \end{align*}
Therefore, $P(X>2.25)=\boxed{0.252}$ to 3 significant figures. </details> ## (d)(i) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 概率密度函数是累积分布函数的导数。分别对两个非恒定分段求导：第一段得到从原点上升的直线；第二段得到一条在 $x=1$ 与前段连接、先上升后下降并在 $x=3$ 回到横轴的光滑曲线。定义域外密度为 0。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Differentiating the cumulative distribution function givesf(x)= \begin{cases} \dfrac27x, & 0\leqslant x\leqslant1, \[3mm] \dfrac37x^2-\dfrac17x^3, & 1<x\leqslant3, \[3mm] 0, & \text{otherwise}. \end{cases}
The straight-line section joins $(0,0)$ to $(1,2/7)$. The smooth second section starts at $(1,2/7)$, reaches its maximum at $x=2$, and returns to the horizontal axis at $x=3$. <p align="center"> <img src="" width="420"> </p> </details> ## (d)(ii) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 第一段密度随 $x$ 增加，在 $x=1$ 处为 $2/7$。第二段内部的最大值通过再次求导并令导数为 0 求得；符合 $1<x<3$ 的驻点是 $x=2$，其密度高于第一段的最大值，所以它是整个分布的众数。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For $1<x<3$,f(x)=\frac37x^2-\frac17x^3.
\begin{align*} f’(x)=&,\frac67x-\frac37x^2 \[4mm] =&,\frac37x(2-x). \end{align*}
Thus $f'(x)=0$ at $x=0$ or $x=2$. Only $x=2$ lies in the interval $1<x<3$. Also,f(2)=\frac47>\frac27=f(1),
and the density decreases from $x=2$ to $x=3$. Therefore, the mode is\boxed{2}.