题目
Problem
A continuous random variable X has cumulative distribution function
0 & x<0 \\ 4ax^2 & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ a(bx^3-x^4+1) & 1 < x \leqslant 3 \\ 1 & x>3 \end{cases}$$ where a and b are positive constants. (a) Show that b = 4 <div style="text-align: right;">(1)</div> (b) Find the exact value of a <div style="text-align: right;">(2)</div> (c) Find P(X > 2.25) <div style="text-align: right;">(2)</div> (d) Showing your working clearly, (i) sketch the probability density function of X (ii) calculate the mode of X <div style="text-align: right;">(5)</div> (Total for Question 3 is 10 marks)题目中文翻译
随机变量 的累计分布函数为
0 & x<0 \\ 4ax^2 & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ a(bx^3-x^4+1) & 1 < x \leqslant 3 \\ 1 & x>3 \end{cases}$$ 其中 $a$ 和 $b$ 为正常数。 (a) 证明 $b=4$。 (b) 求 $a$ 的精确值。 (c) 求 $P(X>2.25)$。 (d) 清楚写出你的过程， (i) 画出 $X$ 的概率密度函数草图。 (ii) 求 $X$ 的众数。 （第 3 题共 10 分） </details> # 解答