题目

Problem

The number of cars entering a safari park per 10-minute period can be modelled by a Poisson distribution with mean 6

(a) Find the probability that in a given 10-minute period exactly 8 cars will enter the safari park.

(2)

(b) Find the smallest value of $n$ such that the probability that at least $n$ cars enter the safari park in 10 minutes is less than 0.05

(2)

The probability that no cars enter the safari park in $m$ minutes, where $m$ is an integer, is less than 0.05

(2)

A car enters the safari park.

(d) Find the probability that there is less than 5 minutes before the next car enters the safari park.

(3)

Given that exactly 15 cars entered the safari park in a 30-minute period,

(e) find the probability that exactly 1 car entered the safari park in the first 5 minutes of the 30-minute period.

(4)

Aston claims that the mean number of cars entering the safari park per 10-minute period is more than 6

He selects a 15-minute period at random in order to test whether there is evidence to support his claim.

(f) Determine the critical region for the test at the 5% level of significance.

(2)

(Total for Question 4 is 15 marks)

题目中文翻译

每 10 分钟进入一个野生动物园的汽车数量可用均值为 6 的泊松分布建模。

(a) 求在给定的 10 分钟内恰好有 8 辆车进入的概率。

(2)

(b) 求最小的 $n$ ，使得在 10 分钟内至少有 $n$ 辆车进入的概率小于 0.05。

(2)

在 $m$ 分钟内没有车进入野生动物园的概率小于 0.05，其中 $m$ 为整数。

(2)

一辆车进入了野生动物园。

(d) 求下一辆车进入前少于 5 分钟的概率。

(3)

已知在 30 分钟内恰好有 15 辆车进入，

(e) 求在这 30 分钟的前 5 分钟内恰好有 1 辆车进入的概率。

(4)

Aston 声称每 10 分钟进入野生动物园的汽车平均数大于 6。

他随机选取一个 15 分钟的时间段，以检验是否有证据支持他的说法。

(f) 求 5% 显著性水平下的临界域。

(2)

（第 4 题共 15 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

10 分钟内的汽车数服从参数为 6 的 Poisson 分布，直接使用 Poisson 概率公式计算恰好 8 辆的概率。

答题过程

展开

Let $X$ be the number of cars entering in 10 minutes. Then

X\sim\operatorname{Po}(6).

Therefore,

\begin{align*} P(X=8)=&\,\frac{e^{-6}6^8}{8!} \\[4mm] =&\,0.103257\ldots \end{align*}

Hence $P(X=8)=\boxed{0.103}$ to 3 significant figures.

解法二

思路

展开

累积概率 $P(X\leqslant8)$ 包含 0 至 8 辆的情形，减去 $P(X\leqslant7)$ 就只剩恰好 8 辆。可直接用累积概率表或计算器求值。

答题过程

展开

For $X\sim\operatorname{Po}(6)$ ,

\begin{align*} &\,P(X=8) \\[4mm] =&\,P(X\leqslant8)-P(X\leqslant7) \\[4mm] \approx&\,0.8472-0.7440 \\[4mm] =&\,0.1032. \end{align*}

Thus the required probability is $\boxed{0.103}$ to 3 significant figures.

(b)

解法一

思路

展开

「至少 $n$ 辆」是右尾事件。为证明所得整数最小，需要比较相邻边界： $P(X\geqslant10)$ 仍大于 $0.05$ ，而 $P(X\geqslant11)$ 已小于 $0.05$ 。

答题过程

展开

Using $X\sim\operatorname{Po}(6)$ ,

\begin{align*} &\,P(X\geqslant10) \\[4mm] =&\,1-P(X\leqslant9) \\[4mm] =&\,0.0839\ldots>0.05, \end{align*}

whereas

\begin{align*} &\,P(X\geqslant11) \\[4mm] =&\,1-P(X\leqslant10) \\[4mm] =&\,0.0426\ldots<0.05. \end{align*}

Therefore, the smallest value is

\boxed{n=11}.

(c)

解法一

思路

展开

平均到达率为每分钟 $0.6$ 辆，所以 $m$ 分钟内的汽车数服从参数为 $0.6m$ 的 Poisson 分布。没有汽车的概率为 $e^{-0.6m}$ ，解严格不等式后取最小整数。

答题过程

展开

Let $K$ be the number of cars entering in $m$ minutes. Then

K\sim\operatorname{Po}(0.6m).

The condition is

\begin{align*} P(K=0)=&\,e^{-0.6m} \\[4mm] <&\,0.05. \end{align*}

Taking logarithms,

\begin{align*} -0.6m<&\,\ln(0.05) \\[4mm] m>&\,\frac{-\ln(0.05)}{0.6} \\[4mm] m>&\,4.9928\ldots \end{align*}

Since $m$ is an integer, the smallest possible value is

\boxed{m=5}.

解法二

思路

展开

没有汽车到达的概率随时间增加而减小。每分钟平均到达 $0.6$ 辆，依次试整数分钟：4 分钟仍不能使概率小于 $0.05$ ，5 分钟则可以；这两个相邻值即可确定最小整数。

答题过程

展开

For $m$ minutes, the Poisson mean is $0.6m$ and the probability of no cars is $e^{-0.6m}$ . This decreases as $m$ increases.

When $m=4$ , the mean is $2.4$ and

e^{-2.4}=0.0907\ldots>0.05.

When $m=5$ , the mean is $3$ and

e^{-3}=0.0498\ldots<0.05.

Therefore, the smallest integer is $\boxed{m=5}$ .

(d)

解法一

思路

展开

下一辆车在 5 分钟内到达，等价于接下来的 5 分钟内至少有一辆车进入。该时段的平均汽车数为 3，因此用 Poisson 分布和「没有汽车」的补事件计算。

答题过程

展开

Let $Y$ be the number of cars entering in the next 5 minutes. Then

Y\sim\operatorname{Po}(3).

Therefore,

\begin{align*} P(Y\geqslant1)=&\,1-P(Y=0) \\[4mm] =&\,1-e^{-3} \\[4mm] =&\,0.950212\ldots \end{align*}

Hence the required probability is $\boxed{0.950}$ to 3 significant figures.

(e)

解法一

思路

展开

把 30 分钟拆成前 5 分钟与余下 25 分钟。两段的汽车数独立，分别服从均值为 3 和 15 的 Poisson 分布；总数服从均值为 18 的 Poisson 分布。条件概率的分子是「前 5 分钟 1 辆且余下时间 14 辆」，分母是「总共 15 辆」。

答题过程

展开

Let $Y$ be the number of cars in the first 5 minutes and $T$ the number in the remaining 25 minutes. Then

\begin{align*} Y\sim&\,\operatorname{Po}(3), \\[4mm] T\sim&\,\operatorname{Po}(15), \end{align*}

and $Y$ and $T$ are independent. Also,

Y+T\sim\operatorname{Po}(18).

The probabilities needed for the conditional probability are

\begin{align*} &\,p_1=P(Y=1) \\[4mm] =&\,\frac{e^{-3}3^1}{1!}, \\[4mm] &\,p_{14}=P(T=14) \\[4mm] =&\,\frac{e^{-15}15^{14}}{14!}, \\[4mm] &\,p_{15}=P(Y+T=15) \\[4mm] =&\,\frac{e^{-18}18^{15}}{15!}. \end{align*}

Since $Y$ and $T$ are independent,

\begin{align*} &\,P(Y=1\mid Y+T=15) \\[4mm] =&\,\frac{p_1p_{14}}{p_{15}} \\[4mm] =&\,0.1947\ldots \end{align*}

Hence the required probability is $\boxed{0.195}$ to 3 significant figures.

解法二

思路

展开

Poisson 过程在已知总到达数的条件下，每辆车落在某个子时段的概率等于该子时段占总时长的比例。前 5 分钟占 30 分钟的 $1/6$ ，所以已知总共 15 辆后，前 5 分钟的辆数服从参数为 $15$ 、 $1/6$ 的二项分布。

答题过程

展开

Conditional on 15 cars entering during the 30-minute period, each car has probability

\frac5{30}=\frac16

of entering during the first 5 minutes. Hence

\begin{align*} &\,Y\mid(Y+T=15) \\[4mm] \sim&\,\operatorname{B}\Big(15,\frac16\Big). \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,P(Y=1\mid Y+T=15) \\[4mm] =&\,\binom{15}{1}\Big(\frac16\Big) \\[4mm] &\,\hspace{2pt}\times\Big(\frac56\Big)^{14} \\[4mm] =&\,0.1947\ldots \\[4mm] =&\,\boxed{0.195}. \end{align*}

(f)

解法一

思路

展开

在原假设下，15 分钟内的平均汽车数为 $9$ 。Aston 的主张对应右尾检验，因此从较大的汽车数开始寻找临界区域；比较相邻边界 $J\geqslant14$ 与 $J\geqslant15$ 的尾概率，确保实际显著性水平不超过 5% 且边界尽可能宽。

答题过程

展开

Let $J$ be the number of cars entering in 15 minutes. Under the null hypothesis,

J\sim\operatorname{Po}(9).

Now,

\begin{align*} &\,P(J\geqslant14) \\[4mm] =&\,1-P(J\leqslant13) \\[4mm] =&\,1-0.9261=0.0739, \end{align*}

while

\begin{align*} &\,P(J\geqslant15) \\[4mm] =&\,1-P(J\leqslant14) \\[4mm] =&\,1-0.9585=0.0415. \end{align*}

Therefore, the 5% critical region is

\boxed{J\geqslant15}.

S2 2021 Oct Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(f)

解法一

思路

答题过程