题目

Problem

A bag contains a large number of counters.

40% of the counters are numbered 1

35% of the counters are numbered 2

25% of the counters are numbered 3

In a game Alif draws two counters at random from the bag. His score is 4 times the number on the first counter minus 2 times the number on the second counter.

(a) Show that Alif gets a score of 8 with probability 0.0875

(1)

(b) Find the sampling distribution of Alif’s score.

(5)

(2)

(Total for Question 5 is 8 marks)

题目中文翻译

一个袋子里有许多筹码。

其中 40% 编号为 1，35% 编号为 2，25% 编号为 3。

在一个游戏中，Alif 从袋中随机抽取两个筹码。他的得分定义为：第一个筹码上的数字的 4 倍减去第二个筹码上的数字的 2 倍。

(a) 证明 Alif 得到 8 分的概率为 0.0875。

(1)

(b) 求 Alif 得分的抽样分布。

(5)

(2)

（第 5 题共 8 分）

解答

(a)

解法一

思路

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设第一次与第二次抽到的号码分别为 $A$ 、 $B$ ，得分为 $4A-2B$ 。逐一检查 $A,B\in\{1,2,3\}$ ，只有先抽到 3、后抽到 2 时得分为 8；两次抽取独立，因此概率相乘。

答题过程

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Let $S$ be Alif’s score. A score of 8 occurs when the first counter is numbered 3 and the second counter is numbered 2, since

4(3)-2(2)=8.

Therefore,

\begin{align*} P(S=8)=&\,0.25\times0.35 \\[4mm] =&\,0.0875, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

把两次抽到的号码组成有序对 $(A,B)$ ，逐一计算得分 $S=4A-2B$ 与对应概率 $P(A)P(B)$ 。若多个有序对产生相同得分，就把这些互斥结果的概率相加，最后检查分布中的概率总和为 1。

答题过程

展开

Let $A$ and $B$ be the numbers on the first and second counters respectively, so that

S=4A-2B.

The possible ordered outcomes are

$(A,B)$	$S$	Probability
$(1,1)$	$2$	$0.4^2$ $=0.16$
$(1,2)$	$0$	$0.4(0.35)$ $=0.14$
$(1,3)$	$-2$	$0.4(0.25)$ $=0.10$
$(2,1)$	$6$	$0.35(0.4)$ $=0.14$
$(2,2)$	$4$	$0.35^2$ $=0.1225$
$(2,3)$	$2$	$0.35(0.25)$ $=0.0875$
$(3,1)$	$10$	$0.25(0.4)$ $=0.10$
$(3,2)$	$8$	$0.25(0.35)$ $=0.0875$
$(3,3)$	$6$	$0.25^2$ $=0.0625$

Combining outcomes that give the same score, the sampling distribution is

$s$	$P(S=s)$
$-2$	$0.10$
$0$	$0.14$
$2$	$0.2475$
$4$	$0.1225$
$6$	$0.2025$
$8$	$0.0875$
$10$	$0.10$

The probabilities sum to 1, as required.

(c)

解法一

思路

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直接使用 (b) 的抽样分布，按 $E(S)=\sum sP(S=s)$ 将每个得分乘以其概率后相加。

答题过程

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Using the sampling distribution,

\begin{align*} &\,E(S) \\[4mm] =&\,(-2)(0.10)+(0)(0.14) \\[4mm] &\,\hspace{2pt}+2(0.2475) \\[4mm] &\,\hspace{4pt}+4(0.1225) \\[4mm] &\,\hspace{6pt}+6(0.2025) \\[4mm] &\,\hspace{8pt}+8(0.0875) \\[4mm] &\,\hspace{10pt}+10(0.10) \\[4mm] =&\,\boxed{3.7}. \end{align*}

解法二

思路

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也可以使用期望的线性性质。两次抽取的号码具有相同分布，先求单次号码的期望，再分别乘以得分公式中的系数并相减；这里不需要额外使用独立性。

答题过程

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For either draw,

\begin{align*} &\,E(A)=E(B) \\[4mm] =&\,1(0.40)+2(0.35) \\[4mm] &\,\hspace{2pt}+3(0.25) \\[4mm] =&\,1.85. \end{align*}

By linearity of expectation,

\begin{align*} &\,E(S) \\[4mm] =&\,E(4A-2B) \\[4mm] =&\,4E(A)-2E(B) \\[4mm] =&\,4(1.85)-2(1.85) \\[4mm] =&\,\boxed{3.7}. \end{align*}

S2 2021 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程