题目
The continuous random variable Y has probability density function f(y) given by
\dfrac{1}{14}(y+2) & -1 < y \leqslant 1 \\ \dfrac{3}{14} & 1 < y \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{14}(6-y) & 3 < y \leqslant 5 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (a) Sketch the probability density function f(y) <div style="text-align: right;">(2)</div> Given that E(Y^2) = 131/21 (b) find Var (2Y − 3) <div style="text-align: right;">(4)</div> The cumulative distribution function of Y is F(y) (c) Show that F(y) = $$\dfrac{1}{14}\left(\dfrac{y^2}{2}+2y+\dfrac{3}{2}\right)$$ for −1 < y ≤ 1 <div style="text-align: right;">(2)</div> (d) Find F(y) for all values of y <div style="text-align: right;">(5)</div> (e) Find the exact value of the 30th percentile of Y <div style="text-align: right;">(2)</div> (f) Find P(4Y ≤ 5 | Y ≤ 3) <div style="text-align: right;">(2)</div> (Total for Question 6 is 17 marks)题目中文翻译
连续随机变量 的概率密度函数 为
\dfrac{1}{14}(y+2) & -1 < y \leqslant 1 \\ \dfrac{3}{14} & 1 < y \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{14}(6-y) & 3 < y \leqslant 5 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (a) 画出概率密度函数 $f(y)$ 的图像。 已知 $E(Y^2)=\dfrac{131}{21}$。 (b) 求 $\mathrm{Var}(2Y-3)$。 随机变量 $Y$ 的累计分布函数为 $F(y)$。 (c) 证明当 $-1 < y \leqslant 1$ 时， $$F(y)=\dfrac{1}{14}\left(\dfrac{y^2}{2}+2y+\dfrac{3}{2}\right)$$ (d) 求所有取值下的 $F(y)$。 (e) 求 $Y$ 的第 30 百分位数的精确值。 (f) 求 $P(4Y \leqslant 5 \mid Y \leqslant 3)$。 （第 6 题共 17 分） </details> # 解答 ## (a) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 逐段读取密度函数：从 $y=-1$ 到 $y=1$ 是由 $1/14$ 上升至 $3/14$ 的直线；从 $y=1$ 到 $y=3$ 是高度为 $3/14$ 的水平线；从 $y=3$ 到 $y=5$ 是由 $3/14$ 下降至 $1/14$ 的直线。定义域外密度为 0。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> The graph joins the points\left(-1,\frac1{14}\right),\quad \left(1,\frac3{14}\right),\quad \left(3,\frac3{14}\right),\quad \left(5,\frac1{14}\right)
with straight-line segments, and $f(y)=0$ outside $(-1,5]$. <p align="center"> <img src="" width="420"> </p> </details> ## (b) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 密度图像关于 $y=2$ 对称，所以 $E(Y)=2$。先用 $\operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$ 求方差，再用 $\operatorname{Var}(aY+b)=a^2\operatorname{Var}(Y)$；平移 $-3$ 不会改变方差。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> The density is symmetric about $y=2$, soE(Y)=2.
\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&,E(Y^2)-[E(Y)]^2 \[4mm] =&,\frac{131}{21}-2^2 \[4mm] =&,\frac{47}{21}. \end{align*}
\begin{align*} \operatorname{Var}(2Y-3) =&,2^2\operatorname{Var}(Y) \[4mm] =&,4\left(\frac{47}{21}\right) \[4mm] =&,\boxed{\frac{188}{21}}. \end{align*}
</details> ## (c) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 当 $-1<y\leqslant1$ 时，$F(y)$ 是从支持区间左端点 $-1$ 到 $y$ 的密度积分。代入第一段密度，积分并在上下限处求值，即可自然得到题目所给形式。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For $-1<y\leqslant1$,\begin{align*} F(y)=&,\int_{-1}^{y}\frac1{14}(t+2),\mathrm{d}t \[4mm] =&,\frac1{14} \left[\frac{t^2}{2}+2t\right]_{-1}^{y} \[4mm] =&,\frac1{14} \left(\frac{y^2}{2}+2y+\frac32\right). \end{align*}
This is the required result. </details> ### 解法二 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 官方评分资料也接受直接利用图形面积。从 $-1$ 到 $y$ 的区域是梯形，其宽为 $y+1$，两条平行边的长度分别为 $1/14$ 与 $(y+2)/14$。套用梯形面积公式后展开即可。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> For $-1<y\leqslant1$, the area under the density is a trapezium. Thus,\begin{align*} F(y)=&,\frac12(y+1) \left(\frac1{14}+\frac{y+2}{14}\right) \[4mm] =&,\frac{(y+1)(y+3)}{28} \[4mm] =&,\frac1{14} \left(\frac{y^2}{2}+2y+\frac32\right). \end{align*}
</details> ## (d) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 在支持区间外，累积分布函数分别为 0 和 1；第一段沿用 (c)。先算出连接点 $F(1)=2/7$ 与 $F(3)=5/7$，然后对后两段密度从各自左端点积分，并加上此前已经累积的概率，以保证各分段连续。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> From part (c),F(1)=\frac27.
For $1<y\leqslant3$,\begin{align*} F(y)=&,F(1)+\int_1^y\frac3{14},\mathrm{d}t \[4mm] =&,\frac27+\frac3{14}(y-1) \[4mm] =&,\frac3{14}y+\frac1{14}. \end{align*}
In particular, $F(3)=5/7$. For $3<y\leqslant5$,\begin{align*} F(y)=&,F(3)+\int_3^y\frac1{14}(6-t),\mathrm{d}t \[4mm] =&,\frac57+\frac1{14} \left[6t-\frac{t^2}{2}\right]_3^y \[4mm] =&,\frac37y-\frac1{28}y^2-\frac14. \end{align*}
F(y)= \begin{cases} 0, & y\leqslant-1, \[2mm] \dfrac1{14}\left(\dfrac{y^2}{2}+2y+\dfrac32\right), & -1<y\leqslant1, \[4mm] \dfrac3{14}y+\dfrac1{14}, & 1<y\leqslant3, \[4mm] \dfrac37y-\dfrac1{28}y^2-\dfrac14, & 3<y\leqslant5, \[4mm] 1, & y>5. \end{cases}
</details> ## (e) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 第 30 百分位数 $m$ 满足 $F(m)=0.3$。由于 $F(1)=2/7<0.3<F(3)=5/7$，所以 $m$ 位于第二段，必须使用 $F(y)=3y/14+1/14$ 求解。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Let $m$ be the 30th percentile. SinceF(1)=\frac27<0.3<\frac57=F(3),
we have $1<m<3$. Therefore,\frac3{14}m+\frac1{14}=\frac3{10}.
15m+5=21,
\boxed{m=\frac{16}{15}}.
</details> ## (f) ### 解法一 #### 思路 <details> <summary>展开</summary> 先把 $4Y\leqslant5$ 改写成 $Y\leqslant5/4$。这个事件包含在条件事件 $Y\leqslant3$ 中，所以条件概率为 $F(5/4)/F(3)$；两个数都位于累积分布函数已求出的第二段或端点。 </details> #### 答题过程 <details> <summary>展开</summary> Since $4Y\leqslant5$ is equivalent to $Y\leqslant5/4$, and this event is contained in $Y\leqslant3$,P(4Y\leqslant5\mid Y\leqslant3) =\frac{F(5/4)}{F(3)}.
F\left(\frac54\right) =\frac3{14}\cdot\frac54+\frac1{14} =\frac{19}{56}
and $F(3)=5/7$. Hence,\begin{align*} P(4Y\leqslant5\mid Y\leqslant3) =&,\frac{19/56}{5/7} \[4mm] =&,\boxed{\frac{19}{40}}. \end{align*}