题目
Problem
The continuous random variable Y has probability density function f(y) given by
\dfrac{1}{14}(y+2) & -1 < y \leqslant 1 \\ \dfrac{3}{14} & 1 < y \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{14}(6-y) & 3 < y \leqslant 5 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (a) Sketch the probability density function f(y) Given that E(Y^2) = 131/21 (b) find Var (2Y − 3) <div style="text-align: right;">(2)</div> <div style="text-align: right;">(4)</div> The cumulative distribution function of Y is F(y) (c) Show that F(y) = $$\dfrac{1}{14}\left(\dfrac{y^2}{2}+2y+\dfrac{3}{2}\right)$$ for −1 < y ≤ 1 (d) Find F(y) for all values of y (e) Find the exact value of the 30th percentile of Y (f) Find P(4Y ≤ 5 | Y ≤ 3) <div style="text-align: right;">(2)</div> <div style="text-align: right;">(5)</div> <div style="text-align: right;">(2)</div> <div style="text-align: right;">(2)</div> (Total for Question 6 is 17 marks)题目中文翻译
连续随机变量 的概率密度函数 为
\dfrac{1}{14}(y+2) & -1 < y \leqslant 1 \\ \dfrac{3}{14} & 1 < y \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{14}(6-y) & 3 < y \leqslant 5 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (a) 画出概率密度函数 $f(y)$ 的图像。 已知 $E(Y^2)=\dfrac{131}{21}$。 (b) 求 $\mathrm{Var}(2Y-3)$。 随机变量 $Y$ 的累计分布函数为 $F(y)$。 (c) 证明当 $-1 < y \leqslant 1$ 时， $$F(y)=\dfrac{1}{14}\left(\dfrac{y^2}{2}+2y+\dfrac{3}{2}\right)$$ (d) 求所有取值下的 $F(y)$。 (e) 求 $Y$ 的第 30 百分位数的精确值。 (f) 求 $P(4Y \leqslant 5 \mid Y \leqslant 3)$。 （第 6 题共 17 分） </details> # 解答