题目

Problem

The continuous random variable $Y$ has probability density function $f(y)$ given by

\begin{align*} &\,f(y)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{14}(y+2)\\[-1mm] &\,\text{for }-1 < y \leqslant 1 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{3}{14}\\[-1mm] &\,\text{for }1 < y \leqslant 3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{14}(6-y)\\[-1mm] &\,\text{for }3 < y \leqslant 5 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

(a) Sketch the probability density function $f(y)$

(2)

Given that $E(Y^2)=\frac{131}{21}$

(b) find $\operatorname{Var}(2Y-3)$

(4)

The cumulative distribution function of $Y$ is $F(y)$

\begin{align*} &\,F(y) \\ =&\,\frac1{14}\bigg(\frac{y^2}{2}+2y+\frac32\bigg) \end{align*}

for $-1<y\leqslant1$

(2)

(d) Find $F(y)$ for all values of $y$

(5)

(e) Find the exact value of the 30th percentile of $Y$

(2)

(f) Find $P(4Y\leqslant5\mid Y\leqslant3)$

(2)

(Total for Question 6 is 17 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $Y$ 的概率密度函数 $f(y)$ 为

\begin{align*} &\,f(y)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{14}(y+2)\\[-1mm] &\,\quad \text{for }-1 < y \leqslant 1 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{3}{14}\\[-1mm] &\,\quad \text{for }1 < y \leqslant 3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{14}(6-y)\\[-1mm] &\,\quad \text{for }3 < y \leqslant 5 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad \text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

(a) 画出概率密度函数 $f(y)$ 的图像。

(2)

已知 $E(Y^2)=\dfrac{131}{21}$ 。

(b) 求 $\mathrm{Var}(2Y-3)$ 。

(4)

随机变量 $Y$ 的累计分布函数为 $F(y)$ 。

\begin{align*} &\,F(y)\\ =&\,\frac1{14}\bigg(\frac{y^2}{2}+2y+\frac32\bigg) \end{align*}

(2)

(d) 求所有取值下的 $F(y)$ 。

(5)

(e) 求 $Y$ 的第 30 百分位数的精确值。

(2)

(f) 求 $P(4Y \leqslant 5 \mid Y \leqslant 3)$ 。

(2)

（第 6 题共 17 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

逐段读取密度函数：从 $y=-1$ 到 $y=1$ 是由 $1/14$ 上升至 $3/14$ 的直线；从 $y=1$ 到 $y=3$ 是高度为 $3/14$ 的水平线；从 $y=3$ 到 $y=5$ 是由 $3/14$ 下降至 $1/14$ 的直线。定义域外密度为 0。

答题过程

展开

The graph joins the points

\begin{gathered} \bigg(-1,\frac1{14}\bigg),\quad\bigg(1,\frac3{14}\bigg),\\ \bigg(3,\frac3{14}\bigg),\quad\bigg(5,\frac1{14}\bigg) \end{gathered}

with straight-line segments, and $f(y)=0$ outside $(-1,5]$ .

(b)

解法一

思路

展开

密度图像关于 $y=2$ 对称，所以 $E(Y)=2$ 。先用二阶矩减去均值的平方求方差，再将方差乘以系数 $2$ 的平方；平移 $-3$ 不会改变方差。

答题过程

展开

The density is symmetric about $y=2$ , so

E(Y)=2.

Therefore,

\begin{align*} &\,\operatorname{Var}(Y)\\ =&\,E(Y^2)-[E(Y)]^2 \\[4mm] =&\,\frac{131}{21}-2^2 \\[4mm] =&\,\frac{47}{21}. \end{align*}

Hence,

\begin{align*} \operatorname{Var}(2Y-3) =&\,2^2\operatorname{Var}(Y) \\[4mm] =&\,4\left(\frac{47}{21}\right) \\[4mm] =&\,\boxed{\frac{188}{21}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

当 $-1<y\leqslant1$ 时， $F(y)$ 是从支持区间左端点 $-1$ 到 $y$ 的密度积分。代入第一段密度，积分并在上下限处求值，即可自然得到题目所给形式。

答题过程

展开

For $-1<y\leqslant1$ ,

\begin{align*} &\,F(y)\\ =&\,\int_{-1}^{y}\frac1{14}(t+2)\,\mathrm{d}t \\[4mm] =&\,\frac1{14} \left[\frac{t^2}{2}+2t\right]_{-1}^{y} \\[4mm] =&\,\frac1{14} \left(\frac{y^2}{2}+2y+\frac32\right). \end{align*}

This is the required result.

解法二

思路

展开

也可以直接利用图形面积。从 $-1$ 到 $y$ 的区域是梯形，其宽为 $y+1$ ，两条平行边的长度分别为 $1/14$ 与 $(y+2)/14$ 。套用梯形面积公式后展开即可。

答题过程

展开

For $-1<y\leqslant1$ , the area under the density is a trapezium. Thus,

\begin{align*} &\,F(y)\\ =&\,\frac12(y+1) \left(\frac1{14}+\frac{y+2}{14}\right) \\[4mm] =&\,\frac{(y+1)(y+3)}{28} \\[4mm] =&\,\frac1{14} \left(\frac{y^2}{2}+2y+\frac32\right). \end{align*}

解法三

思路

展开

也可以先对密度函数作不定积分，保留积分常数。支持区间左端点以前没有累积概率，所以 $F(-1)=0$ ；代入这个边界条件便可定出常数，再展开成题目指定的形式。

答题过程

展开

For $-1<y\leqslant1$ , integrating the density gives

\begin{align*} F(y)=&\,\int\frac{y+2}{14}\,\mathrm{d}y \\[4mm] =&\,\frac{(y+2)^2}{28}+C. \end{align*}

Using $F(-1)=0$ ,

\begin{align*} \frac1{28}+C=&\,0, \\[4mm] C=&\,-\frac1{28}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,F(y) \\[4mm] =&\,\frac{(y+2)^2-1}{28} \\[4mm] =&\,\frac{y^2+4y+3}{28} \\[4mm] =&\,\frac1{14}\bigg(\frac{y^2}{2}+2y+\frac32\bigg). \end{align*}

This is the required result.

(d)

解法一

思路

展开

在支持区间外，累积分布函数分别为 0 和 1；第一段沿用 (c)。先算出连接点 $F(1)=2/7$ 与 $F(3)=5/7$ ，然后对后两段密度从各自左端点积分，并加上此前已经累积的概率，以保证各分段连续。

答题过程

展开

From part (c),

F(1)=\frac27.

For $1<y\leqslant3$ ,

\begin{align*} F(y)=&\,F(1)+\int_1^y\frac3{14}\,\mathrm{d}t \\[4mm] =&\,\frac27+\frac3{14}(y-1) \\[4mm] =&\,\frac3{14}y+\frac1{14}. \end{align*}

In particular, $F(3)=5/7$ . For $3<y\leqslant5$ ,

\begin{align*} &\,F(y)\\ =&\,F(3)+\int_3^y\frac1{14}(6-t)\,\mathrm{d}t \\[4mm] =&\,\frac57+\frac1{14} \left[6t-\frac{t^2}{2}\right]_3^y \\[4mm] =&\,\frac37y-\frac1{28}y^2-\frac14. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,F(y)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad \text{for }y\leqslant-1 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac1{14}\left(\dfrac{y^2}{2}+2y+\dfrac32\right)\\[-1mm] &\,\quad \text{for }-1<y\leqslant1 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac3{14}y+\dfrac1{14}\\[-1mm] &\,\quad \text{for }1<y\leqslant3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac37y-\dfrac1{28}y^2-\dfrac14\\[-1mm] &\,\quad \text{for }3<y\leqslant5 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,1\\[-1mm] &\,\quad \text{for }y>5. \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

解法二

思路

展开

分别对后两段密度作不定积分，再利用累积分布函数的边界值求常数：第二段用 $F(1)=2/7$ ，第三段用 $F(5)=1$ 。第一段沿用 (c)，支持区间外仍分别为 0 和 1。这个方法无需每段都从左端点重新计算定积分。

答题过程

展开

For $1<y\leqslant3$ , integrating $f(y)=3/14$ gives

F(y)=\frac3{14}y+C_1.

Since $F(1)=2/7$ ,

\begin{align*} \frac3{14}+C_1=&\,\frac27, \\[4mm] C_1=&\,\frac1{14}. \end{align*}

Thus, on this interval,

F(y)=\frac3{14}y+\frac1{14}.

For $3<y\leqslant5$ , integrating $f(y)=(6-y)/14$ gives

\begin{align*} &\,F(y) \\[4mm] =&\,C_2-\frac{(6-y)^2}{28}. \end{align*}

Using $F(5)=1$ ,

\begin{align*} C_2-\frac1{28}=&\,1, \\[4mm] C_2=&\,\frac{29}{28}. \end{align*}

Therefore, on this interval,

\begin{align*} &\,F(y) \\[4mm] =&\,\frac{29-(6-y)^2}{28} \\[4mm] =&\,\frac37y-\frac1{28}y^2-\frac14. \end{align*}

Combining these with part (c), $F(y)=0$ for $y\leqslant-1$ and $F(y)=1$ for $y>5$ gives the complete cumulative distribution function stated above.

(e)

解法一

思路

展开

第 30 百分位数 $m$ 满足 $F(m)=0.3$ 。连接点处的累积概率分别为 $2/7$ 与 $5/7$ ，而 $0.3$ 位于两者之间，所以 $m$ 位于第二段，使用这一段的累积分布函数求解。

答题过程

展开

Let $m$ be the 30th percentile. Since

\begin{align*} &\,F(1)=\frac27\\ &\,\quad<0.3<\frac57=F(3), \end{align*}

we have $1<m<3$ . Therefore,

\frac3{14}m+\frac1{14}=\frac3{10}.

Multiplying by 70 gives

15m+5=21,

so the exact value is

\boxed{m=\frac{16}{15}}.

(f)

解法一

思路

展开

先把 $4Y\leqslant5$ 改写成 $Y\leqslant5/4$ 。这个事件包含在条件事件 $Y\leqslant3$ 中，所以条件概率为 $F(5/4)/F(3)$ ；两个数都位于累积分布函数已求出的第二段或端点。

答题过程

展开

Since $4Y\leqslant5$ is equivalent to $Y\leqslant5/4$ , and this event is contained in $Y\leqslant3$ ,

\begin{align*} &\,P(4Y\leqslant5\mid Y\leqslant3)\\ =&\,\frac{F(5/4)}{F(3)}. \end{align*}

Now,

\begin{align*} F\bigg(\frac54\bigg)=&\,\frac3{14}\cdot\frac54+\frac1{14}\\ =&\,\frac{19}{56} \end{align*}

and $F(3)=5/7$ . Hence,

\begin{align*} &\,P(4Y\leqslant5\mid Y\leqslant3)\\ =&\,\frac{19/56}{5/7} \\[4mm] =&\,\boxed{\frac{19}{40}}. \end{align*}

S2 2021 Oct Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程

(f)

解法一

思路

答题过程