题目

Problem

A local pottery makes cups. The number of faulty cups made by the pottery in a week follows a Poisson distribution with a mean of 6 In a randomly chosen week, the probability that there will be at least $x$ faulty cups made is 0.1528

(a) Find the value of $x$

(3)

(b) Use a normal approximation to find the probability that in 6 randomly chosen weeks the total number of faulty cups made is fewer than 32

(4)

A week is called a “poor week” if at least $x$ faulty cups are made, where $x$ is the value found in part (a).

(4)

(Total for Question 1 is 11 marks)

题目中文翻译

一家本地陶艺坊制作杯子。该陶艺坊每周生产的有瑕疵杯子数量服从均值为 6 的泊松分布。

在随机选取的一周中，至少有 $x$ 个有瑕疵杯子的概率为 0.1528。

(a) 求 $x$ 的值。

(b) 使用正态近似，求在随机选取的 6 周内，有瑕疵杯子总数少于 32 的概率。

如果至少有 $x$ 个有瑕疵杯子，则该周被称为“糟糕的一周”，其中 $x$ 为 (a) 中求得的值。

（第 1 题共 11 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

设一周内有瑕疵杯子的数量为 $X$ ，则 $X\sim\operatorname{Po}(6)$ 。题目给的是上尾概率 $P(X\geqslant x)=0.1528$ ，先转成累积概率 $P(X\leqslant x-1)=0.8472$ ，再查泊松分布表确定 $x-1$ 。

答题过程

展开

Let $X$ be the number of faulty cups made in one week. Then

X\sim\operatorname{Po}(6).

Given that $P(X\geqslant x)=0.1528$ ,

\begin{align*} P(X\leqslant x-1)=&\,1-0.1528\\[2mm] =&\,0.8472. \end{align*}

From the Poisson cumulative probability table,

P(X\leqslant8)=0.8472.

Therefore $x-1=8$ , so

\boxed{x=9}.

(b)

解法一

思路

展开

六周的总数仍服从泊松分布，均值为 $6\times6=36$ 。用正态分布近似时，均值和方差都取 $36$ ；“少于 32”即不超过 31，所以连续性修正边界为 $31.5$ 。

答题过程

展开

Let $Y$ be the total number of faulty cups made in six weeks. Then

Y\sim\operatorname{Po}(36).

Using a normal approximation,

Y\approx N(36,36).

Applying a continuity correction,

\begin{align*} P(Y<32)=&\,P(Y\leqslant31)\\[2mm] \approx&\,P(N<31.5)\\[2mm] =&\,P\left( Z<\frac{31.5-36}{6} \right)\\[2mm] =&\,P(Z<-0.75)\\[2mm] =&\,0.2266. \end{align*}

Hence,

\boxed{P(Y<32)\approx0.227}.

(c)

解法一

思路

展开

由 (a)，一周成为“糟糕的一周”的概率就是题目给出的 $0.1528$ 。50 周中糟糕周数服从二项分布。要求超过 1 周，使用补事件“0 周或 1 周”计算更简洁。

答题过程

展开

Let $W$ be the number of poor weeks among the 50 weeks. Since the probability of a poor week is $0.1528$ ,

W\sim\operatorname{B}(50,0.1528).

Therefore,

\begin{align*} P(W>1)=&\,1-P(W\leqslant1)\\[2mm] =&\,1-P(W=0)-P(W=1)\\[2mm] =&\,1-(0.8472)^{50}\\[2mm] &\,\hspace{2pt}-50(0.1528)(0.8472)^{49}\\[2mm] =&\,0.99748\ldots \end{align*}

Thus,

\boxed{P(W>1)=0.997}\quad\text{(3 s.f.)}.

IAL 2022 Jan S2 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程