题目
Problem
The continuous random variable has cumulative distribution function given by
0 & x < -k \\ \dfrac{x + k}{4k} & -k \leqslant x \leqslant 3k \\ 1 & x > 3k \end{cases}$$ where $k$ is a positive constant. (a) Specify fully, in terms of $k$, the probability density function of $X$ (b) Write down, in terms of $k$, the value of $E(X)$ (c) Show that $\operatorname{Var}(X) = \dfrac{4}{3}k^2$ <div style="text-align: right;">(2)</div> <div style="text-align: right;">(1)</div> <div style="text-align: right;">(2)</div> (d) Find, in terms of $k$, the value of $E(3X)$ <div style="text-align: right;">(3)</div> (Total for Question 2 is 8 marks)题目中文翻译
连续随机变量 的累积分布函数为
0 & x < -k \\ \dfrac{x + k}{4k} & -k \leqslant x \leqslant 3k \\ 1 & x > 3k \end{cases}$$ 其中 $k$ 为正数常数。 (a) 以 $k$ 表示，完整写出 $X$ 的概率密度函数。 (b) 以 $k$ 表示，写出 $E(X)$ 的值。 (c) 证明 $\operatorname{Var}(X) = \dfrac{4}{3}k^2$。 (d) 以 $k$ 表示，求 $E(3X)$ 的值。 （第 2 题共 8 分） </details> # 解答