题目

Problem

The continuous random variable $X$ has cumulative distribution function given by

\begin{align*} &\,F(x)=\\[2mm] &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\text{for }x<-k \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{x+k}{4k}\\[-1mm] &\,\text{for }-k\leqslant x\leqslant3k \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,1\\[-1mm] &\,\text{for }x>3k \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

where $k$ is a positive constant.

(a) Specify fully, in terms of $k$ , the probability density function of $X$

(2)

(b) Write down, in terms of $k$ , the value of $E(X)$

(1)

(2)

(d) Find, in terms of $k$ , the value of $E(3X^2)$

(3)

(Total for Question 2 is 8 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的累积分布函数为

\begin{align*} &\,F(x)=\\[2mm] &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\text{for }x<-k \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{x+k}{4k}\\[-1mm] &\,\text{for }-k\leqslant x\leqslant3k \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,1\\[-1mm] &\,\text{for }x>3k \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

其中 $k$ 为正数常数。

(a) 以 $k$ 表示，完整写出 $X$ 的概率密度函数。

(2)

(b) 以 $k$ 表示，写出 $E(X)$ 的值。

(1)

(2)

(d) 以 $k$ 表示，求 $E(3X^2)$ 的值。

(3)

（第 2 题共 8 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

连续型随机变量的概率密度函数是累积分布函数的导数。在中间区间对 $\frac{x+k}{4k}$ 关于 $x$ 求导得到常数 $\frac1{4k}$ ；区间外的 CDF 为常数，所以密度为 $0$ 。题目要求“完整写出”，因此必须包含定义域和其他情况。

答题过程

展开

Differentiating the cumulative distribution function gives

\begin{align*} &\,f(x)=F'(x)\\[2mm] =&\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{4k}\\[-1mm] &\,\text{for }-k\leqslant x\leqslant3k \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\text{otherwise}. \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

由 (a)， $X$ 在区间 $[-k,3k]$ 上均匀分布。均匀分布的期望是区间两端点的中点。

答题过程

展开

Since

X\sim\operatorname{U}(-k,3k),

its mean is

E(X)=\frac{-k+3k}{2}=\boxed{k}.

(c)

解法一

思路

展开

直接使用均匀分布 $\operatorname{U}(\alpha,\beta)$ 的方差公式 $\frac{(\beta-\alpha)^2}{12}$ ，其中区间长度为 $3k-(-k)=4k$ 。

答题过程

展开

For $X\sim\operatorname{U}(-k,3k)$ ,

\begin{align*} &\,\operatorname{Var}(X)\\[2mm] =&\,\frac{\big(3k-(-k)\big)^2}{12}\\[2mm] =&\,\frac{(4k)^2}{12}\\[2mm] =&\,\boxed{\frac43k^2}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先由密度函数积分求二阶矩，再减去均值的平方得到方差。计算时承接 (b) 的 $E(X)=k$ 。

答题过程

展开

First,

\begin{align*} &\,E(X^2)\\[2mm] =&\,\int_{-k}^{3k}x^2\Big(\frac{1}{4k}\Big)\,\mathrm{d}x\\[2mm] =&\,\frac{1}{4k}\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{-k}^{3k}\\[2mm] =&\,\frac{1}{4k}\Big(\frac{27k^3+k^3}{3}\Big)\\[2mm] =&\,\frac73k^2. \end{align*}

Using $E(X)=k$ from part (b),

\begin{align*} &\,\operatorname{Var}(X)\\[2mm] =&\,E(X^2)-[E(X)]^2\\[2mm] =&\,\frac73k^2-k^2\\[2mm] =&\,\boxed{\frac43k^2}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

将 (c) 的方差加上 (b) 所得均值的平方，得到二阶矩，再利用期望的线性性质把常数 $3$ 提出。

答题过程

展开

Using parts (b) and (c),

\begin{align*} &\,E(X^2)\\[2mm] =&\,\operatorname{Var}(X)+[E(X)]^2\\[2mm] =&\,\frac43k^2+k^2\\[2mm] =&\,\frac73k^2. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,E(3X^2)\\[2mm] =&\,3E(X^2)\\[2mm] =&\,3\Big(\frac73k^2\Big)\\[2mm] =&\,\boxed{7k^2}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接积分求二阶矩：把 (a) 的密度函数乘以 $x^2$ ，在整个支持区间上积分，再乘以 $3$ 。

答题过程

展开

Directly from the probability density function,

\begin{align*} &\,E(3X^2)\\[2mm] =&\,3\int_{-k}^{3k}x^2 \Big(\frac{1}{4k}\Big)\,\mathrm{d}x\\[2mm] =&\,\frac{3}{4k} \Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{-k}^{3k}\\[2mm] =&\,\frac{1}{4k}\big(27k^3+k^3\big)\\[2mm] =&\,\boxed{7k^2}. \end{align*}

S2 2022 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程