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IAL 2022 Jan S2 Q2

A Level / Edexcel / S2

IAL 2022 Jan Paper · Question 2

题目

Problem

The continuous random variable XX has cumulative distribution function given by

F(x)={0,x<−k,x+k4k,−k⩽x⩽3k,1,x>3k.F(x)= \begin{cases} 0, & x<-k,\\ \dfrac{x+k}{4k}, & -k\leqslant x\leqslant3k,\\ 1, & x>3k. \end{cases}

where kk is a positive constant.

(a) Specify fully, in terms of kk, the probability density function of XX

(2)

(b) Write down, in terms of kk, the value of E(X)E(X)

(1)

(c) Show that Var⁡(X)=43k2\operatorname{Var}(X) = \dfrac{4}{3}k^2

(2)

(d) Find, in terms of kk, the value of E(3X2)E(3X^2)

(3)

(Total for Question 2 is 8 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 XX 的累积分布函数为

F(x)={0,x<−k,x+k4k,−k⩽x⩽3k,1,x>3k.F(x)= \begin{cases} 0, & x<-k,\\ \dfrac{x+k}{4k}, & -k\leqslant x\leqslant3k,\\ 1, & x>3k. \end{cases}

其中 kk 为正数常数。

(a) 以 kk 表示，完整写出 XX 的概率密度函数。

(b) 以 kk 表示，写出 E(X)E(X) 的值。

(c) 证明 Var⁡(X)=43k2\operatorname{Var}(X) = \dfrac{4}{3}k^2。

(d) 以 kk 表示，求 E(3X2)E(3X^2) 的值。

（第 2 题共 8 分）

解答

(a)

解法一

思路

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连续型随机变量的概率密度函数是累积分布函数的导数。在中间区间对 x+k4k\frac{x+k}{4k} 关于 xx 求导得到常数 14k\frac1{4k}；区间外的 CDF 为常数，所以密度为 00。题目要求“完整写出”，因此必须包含定义域和其他情况。

答题过程

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Differentiating the cumulative distribution function gives

f(x)=F′(x)={14k,−k⩽x⩽3k,0,otherwise.f(x)=F'(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{4k}, & -k\leqslant x\leqslant3k,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

(b)

解法一

思路

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由 (a)，XX 在区间 [−k,3k][-k,3k] 上均匀分布。均匀分布的期望是区间两端点的中点。

答题过程

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Since

X∼U⁡(−k,3k),X\sim\operatorname{U}(-k,3k),

its mean is

E(X)=−k+3k2=k.E(X)=\frac{-k+3k}{2}=\boxed{k}.

(c)

解法一

思路

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直接使用均匀分布 U⁡(α,β)\operatorname{U}(\alpha,\beta) 的方差公式 (β−α)212\frac{(\beta-\alpha)^2}{12}，其中区间长度为 3k−(−k)=4k3k-(-k)=4k。这是官方评分资料的第一条路线。

答题过程

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For X∼U⁡(−k,3k)X\sim\operatorname{U}(-k,3k),

Var⁡(X)= (3k−(−k))212= (4k)212= 43k2.\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=&\,\frac{\big(3k-(-k)\big)^2}{12}\\[2mm] =&\,\frac{(4k)^2}{12}\\[2mm] =&\,\boxed{\frac43k^2}. \end{align*}

解法二

思路

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也可以先由密度函数积分求 E(X2)E(X^2)，再使用 Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。计算时承接 (b) 的 E(X)=kE(X)=k。

答题过程

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First,

E(X2)= ∫−k3kx2(14k) dx= 14k[x33]−k3k= 14k(27k3+k33)= 73k2.\begin{align*} E(X^2)=&\,\int_{-k}^{3k}x^2\left(\frac{1}{4k}\right)\,\mathrm{d}x\\[2mm] =&\,\frac{1}{4k}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-k}^{3k}\\[2mm] =&\,\frac{1}{4k}\left(\frac{27k^3+k^3}{3}\right)\\[2mm] =&\,\frac73k^2. \end{align*}

Using E(X)=kE(X)=k from part (b),

Var⁡(X)= E(X2)−[E(X)]2= 73k2−k2= 43k2.\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=&\,E(X^2)-[E(X)]^2\\[2mm] =&\,\frac73k^2-k^2\\[2mm] =&\,\boxed{\frac43k^2}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

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由 (c) 的方差和 (b) 的期望，可以用 E(X2)=Var⁡(X)+[E(X)]2E(X^2)=\operatorname{Var}(X)+[E(X)]^2 求二阶矩，再利用期望的线性性质把常数 33 提出。这是承接前面结果的官方路线。

答题过程

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Using parts (b) and (c),

E(X2)= Var⁡(X)+[E(X)]2= 43k2+k2= 73k2.\begin{align*} E(X^2)=&\,\operatorname{Var}(X)+[E(X)]^2\\[2mm] =&\,\frac43k^2+k^2\\[2mm] =&\,\frac73k^2. \end{align*}

Therefore,

E(3X2)= 3E(X2)= 3(73k2)= 7k2.\begin{align*} E(3X^2)=&\,3E(X^2)\\[2mm] =&\,3\left(\frac73k^2\right)\\[2mm] =&\,\boxed{7k^2}. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受直接积分求 E(X2)E(X^2)。把 (a) 的密度函数代入 E(X2)=∫x2f(x) dxE(X^2)=\int x^2f(x)\,\mathrm{d}x，再乘以 33。

答题过程

展开

Directly from the probability density function,

E(3X2)= 3∫−k3kx2(14k) dx= 34k[x33]−k3k= 14k(27k3+k3)= 7k2.\begin{align*} E(3X^2)=&\,3\int_{-k}^{3k}x^2 \left(\frac{1}{4k}\right)\,\mathrm{d}x\\[2mm] =&\,\frac{3}{4k} \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-k}^{3k}\\[2mm] =&\,\frac{1}{4k}\big(27k^3+k^3\big)\\[2mm] =&\,\boxed{7k^2}. \end{align*}