学校里的一台复印机已知会随机出故障，平均每周 8 次。

(a) 给出一个理由说明为什么可以用泊松分布来建模故障次数。

校长把复印机换成了一台翻新的，并想知道故障率是增加还是减少了。

(b) 写出校长应使用的合适原假设和备择假设。

翻新的复印机在安装后的第一周被监测。

(c) 使用 5% 显著性水平，求用于检验故障率是否已经改变的临界区域。

(d) 求基于 (c) 中临界区域的检验实际显著性水平。

安装后的第一周出现了 4 次故障。

(e) 结合 (c) 中的临界区域，评论这一结果。

（第 3 题共 9 分）

泊松模型适用于固定时间内随机发生的计数事件，通常要求事件相互独立并以恒定平均速率发生。给出其中一个与复印机故障情境相符的理由即可。

The photocopier breakdowns can be assumed to occur independently at a constant mean rate.

原有平均故障率为每周 $8$ 次。校长要检验故障率是否“增加或减少”，所以备择假设必须是双侧的 $\lambda\ne8$。

Let $\lambda$ be the mean number of breakdowns per week for the refurbished photocopier.

在 $H_0$ 下，一周故障次数服从 $\operatorname{Po}(8)$。这是 5% 双侧检验，所以从分布两端分别寻找概率不超过 $0.025$ 的最大临界区域。下尾比较 $P(X\leqslant2)$ 与 $P(X\leqslant3)$；上尾比较 $P(X\geqslant14)$ 与 $P(X\geqslant15)$，确保选出的每一尾都不超过 $0.025$。

Under $H_0$,

For the lower tail,

Therefore the lower critical region is $X\leqslant2$.

For the upper tail,

Therefore the upper critical region is $X\geqslant15$.

Hence the critical region is

实际显著性水平就是在原假设为真时落入临界区域的总概率，因此把 (c) 的两个尾部概率相加。

The actual significance level is

Thus the actual significance level is

观察值 $4$ 不在 (c) 的临界区域内，因此不能拒绝原假设。结论必须回到题目情境：证据不足以说明翻新后复印机的平均故障率发生了变化。

The observed value $4$ is not in the critical region, so we do not reject $H_0$.

There is insufficient evidence at the 5% significance level to suggest that refurbishment has changed the mean number of photocopier breakdowns per week.