题目

Problem

The continuous random variable $X$ has a probability density function given by

f(x)= \begin{cases} \dfrac12k(x-1), & 1\leqslant x\leqslant 3,\\ k, & 3<x\leqslant 6,\\ \dfrac14k(10-x), & 6<x\leqslant 10,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

where $k$ is a positive constant.

(a) Sketch $f(x)$ for all values of $x$

(2)

(b) Show that $k = \dfrac{1}{6}$

(2)

(7)

Given that $E(X) = \dfrac{61}{12}$

(d) find $P(X > E(X))$

(e) Describe the skewness of the distribution, giving a reason for your answer.

(2)

(Total for Question 4 is 15 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为

f(x)= \begin{cases} \dfrac12k(x-1), & 1\leqslant x\leqslant 3,\\ k, & 3<x\leqslant 6,\\ \dfrac14k(10-x), & 6<x\leqslant 10,\\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases}

其中 $k$ 为正数常数。

(a) 画出所有 $x$ 值下的 $f(x)$ 图像。

(b) 证明 $k = \dfrac{1}{6}$ 。

已知 $E(X) = \dfrac{61}{12}$ 。

(d) 求 $P(X > E(X))$ 。

(e) 描述该分布的偏度，并给出理由。

（第 4 题共 15 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

逐段读取密度函数：从 $(1,0)$ 线性上升到 $(3,k)$ ，随后在 $3<x\leqslant6$ 保持高度 $k$ ，最后线性下降到 $(10,0)$ ；区间外密度为 $0$ 。图上必须标出 $1,3,6,10$ 和高度 $k$ 。

答题过程

展开

The graph consists of straight-line segments joining

(1,0),\quad(3,k),\quad(6,k),\quad(10,0),

with $f(x)=0$ for $x<1$ and $x>10$ .

(b)

解法一

思路

展开

概率密度曲线下总面积为 $1$ 。图形由左侧三角形、中间长方形和右侧三角形组成，分别求面积后相加。因为题目要求证明给定结果，必须完整写出面积方程。

答题过程

展开

The total area under a probability density function is $1$ . Hence,

\begin{align*} \frac12(3-1)k+(6-3)k +\frac12(10-6)k=&\,1,\\[2mm] k+3k+2k=&\,1,\\[2mm] 6k=&\,1. \end{align*}

Therefore,

\boxed{k=\frac16}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受直接对三段密度函数积分。分别使用各段正确的上下限，并令总积分等于 $1$ 。

答题过程

展开

Using the total probability,

\begin{align*} 1=&\,\int_1^3\frac12k(x-1)\,\mathrm{d}x +\int_3^6k\,\mathrm{d}x\\[2mm] &\,\hspace{2pt}+\int_6^{10}\frac14k(10-x)\,\mathrm{d}x\\[2mm] =&\,k+3k+2k\\[2mm] =&\,6k. \end{align*}

Thus,

\boxed{k=\frac16}.

(c)

解法一

思路

展开

累积分布函数为 $F(x)=P(X\leqslant x)$ 。每进入一个新区间，都要把前面区间已经累积的概率加上；这样可自然保证 $F(x)$ 在分界点连续，并得到全部五段。

答题过程

展开

Using $k=\frac16$ , for $1\leqslant x\leqslant3$ ,

\begin{align*} F(x)=&\,\int_1^x\frac1{12}(t-1)\,\mathrm{d}t\\[2mm] =&\,\frac{(x-1)^2}{24}. \end{align*}

In particular,

F(3)=\frac16.

For $3<x\leqslant6$ ,

\begin{align*} F(x)=&\,F(3)+\int_3^x\frac16\,\mathrm{d}t\\[2mm] =&\,\frac16+\frac{x-3}{6}\\[2mm] =&\,\frac{x-2}{6}. \end{align*}

Thus $F(6)=\frac23$ . For $6<x\leqslant10$ , it is shortest to use the upper-tail triangle:

\begin{align*} F(x)=&\,1-\int_x^{10}\frac1{24}(10-t)\,\mathrm{d}t\\[2mm] =&\,1-\frac{(10-x)^2}{48}. \end{align*}

Therefore,

F(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\ \dfrac{(x-1)^2}{24}, & 1\leqslant x\leqslant3,\\ \dfrac{x-2}{6}, & 3<x\leqslant6,\\ 1-\dfrac{(10-x)^2}{48}, & 6<x\leqslant10,\\ 1, & x>10. \end{cases}

(d)

解法一

思路

展开

$\frac{61}{12}$ 位于 $3$ 与 $6$ 之间，所以必须使用 (c) 的第三段 $F(x)=\frac{x-2}{6}$ 。所求右尾概率为 $1-F(E(X))$ 。

答题过程

展开

Since

3<\frac{61}{12}<6,

we use $F(x)=\frac{x-2}{6}$ . Hence,

\begin{align*} P\big(X>E(X)\big)=&\,1-F\left(\frac{61}{12}\right)\\[2mm] =&\,1-\frac{\frac{61}{12}-2}{6}\\[2mm] =&\,1-\frac{37}{72}\\[2mm] =&\,\boxed{\frac{35}{72}\approx0.486}. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

由 (d)，均值右侧的概率小于 $0.5$ ，所以均值左侧的概率大于 $0.5$ 。这表示中位数位于均值左侧，即 $\text{mean}>\text{median}$ ，对应正偏分布。

答题过程

展开

From part (d),

P\big(X>E(X)\big)=\frac{35}{72}<0.5.

Therefore more than half of the distribution lies below the mean, so

\text{mean}>\text{median}.

Hence the distribution is positively skewed.

IAL 2022 Jan S2 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程