正方形的边长均为 $L$ cm，其面积为 $A$ cm$^2$。

已知 $A$ 在区间 [10, 30] 上均匀分布。

(a) 求 $P(L \geqslant 4.5)$。

(b) 求 $\operatorname{Var}(L)$。

（第 7 题共 8 分）

正方形面积满足 $A=L^2$，而边长为正，所以 $L\geqslant 4.5$ 等价于 $A\geqslant 4.5^2=20.25$。由于 $A$ 在 $[10,30]$ 上均匀分布，概率就是相应区间长度占总区间长度的比例。

Since $A=L^2$ and $L>0$,

As $A\sim\operatorname{U}(10,30)$,

使用 $\operatorname{Var}(L)=E(L^2)-[E(L)]^2$。因为 $L^2=A$，所以 $E(L^2)=E(A)=20$；而 $L=\sqrt A$，可直接对 $A$ 的均匀分布密度积分求 $E(L)$。

Since $L^2=A$,

Also, $L=\sqrt A$ and $A\sim\operatorname{U}(10,30)$, so

Therefore,

Hence,

官方评分资料也接受先求 $L$ 的概率密度函数。由 $A=L^2$ 作变量变换，$f_A(a)=\frac1{20}$，并乘上导数 $\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}l}=2l$，得到 $g(l)=\frac l{10}$；再用它积分求 $E(L)$。

Since $A=L^2$,

The probability density function of $L$ is

for $\sqrt{10}\leqslant l\leqslant\sqrt{30}$, and $g(l)=0$ otherwise.

Thus,

As before, $E(L^2)=E(A)=20$. Therefore,