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IAL 2022 June S2 Q1

A Level / Edexcel / S2

IAL 2022 June Paper · Question 1

题目

Problem

The independent random variables W and X have the following distributions.

W ~ Po(4)      X ~ B(3, 0.8)

(a) Write down the value of the variance of W

(1)

(b) Determine the mode of X Show your working clearly.

(2)

One observation from each distribution is recorded as W1 and X1 respectively. (c) Find P(W1 = 2 and X1 = 2)

(3)

(d) Find P(X1 < W1)

(4)

(Total for Question 1 is 10 marks)

题目中文翻译

独立随机变量 WW 和 XX 的分布如下。

W∼Po(4)W \sim \mathrm{Po}(4)，X∼B(3,0.8)X \sim B(3, 0.8)。

(a) 写出 WW 的方差值。

(b) 求 XX 的众数。 清楚展示你的计算过程。

从各自分布中各记录一个观测值，分别记为 W1W_1 和 X1X_1。

(c) 求 P(W1=2 and X1=2)P(W_1 = 2 \text{ and } X_1 = 2)。

(d) 求 P(X1<W1)P(X_1 < W_1)。

（第 1 题共 10 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

泊松分布的均值和方差都等于其参数。这里 W∼Po⁡(4)W\sim\operatorname{Po}(4)，所以可直接写出方差。

答题过程

展开

Since W∼Po⁡(4)W\sim\operatorname{Po}(4),

Var⁡(W)=4.\boxed{\operatorname{Var}(W)=4}.

(b)

解法一

思路

展开

XX 只能取 0,1,2,30,1,2,3。先计算二项分布各取值的概率，再找出概率最大的取值；不能只写众数而没有计算过程。

答题过程

展开

For X∼B⁡(3,0.8)X\sim\operatorname{B}(3,0.8),

x0123P(X=x)0.0080.0960.3840.512\begin{array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x) & 0.008 & 0.096 & 0.384 & 0.512 \end{array}

The greatest probability is P(X=3)=0.512P(X=3)=0.512. Therefore, the mode of XX is

3.\boxed{3}.

(c)

解法一

思路

展开

W1W_1 与 X1X_1 相互独立，因此两者同时等于 2 的概率等于各自概率的乘积。分别使用泊松分布与二项分布的概率公式。

答题过程

展开 P(W1=2)=e−4422!P(W_1=2)=\frac{e^{-4}4^2}{2!}

and

P(X1=2)=(32)(0.8)2(0.2)=0.384.P(X_1=2)=\binom{3}{2}(0.8)^2(0.2)=0.384.

By independence,

P(W1=2 and X1=2)= P(W1=2)P(X1=2)= e−4422!×0.384= 0.0562656…= 0.0563(to 3 significant figures).\begin{align*} P(W_1=2\text{ and }X_1=2) =&\,P(W_1=2)P(X_1=2) \\ =&\,\frac{e^{-4}4^2}{2!}\times0.384 \\ =&\,0.0562656\ldots \\ =&\,\boxed{0.0563}\quad\text{(to 3 significant figures)}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

按 X1X_1 的四个可能取值分类。当 X1=xX_1=x 时，需要 W1>xW_1>x。由于两个随机变量独立，把每个 P(X1=x)P(X_1=x) 与相应泊松上尾概率相乘后求和。

答题过程

展开

Using the Statistical Tables,

x0123P(X1=x)0.0080.0960.3840.512P(W1⩽x)0.01830.09160.23810.4335\begin{array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X_1=x) & 0.008 & 0.096 & 0.384 & 0.512 \\ P(W_1\leqslant x) & 0.0183 & 0.0916 & 0.2381 & 0.4335 \end{array}

Therefore,

P(X1<W1)= 0.008(1−0.0183) +0.096(1−0.0916) +0.384(1−0.2381) +0.512(1−0.4335)= 0.677677…= 0.678(to 3 significant figures).\begin{align*} P(X_1<W_1) =&\,0.008(1-0.0183) \\ &\,\hspace{2pt}+0.096(1-0.0916) \\ &\,\hspace{4pt}+0.384(1-0.2381) \\ &\,\hspace{6pt}+0.512(1-0.4335) \\ =&\,0.677677\ldots \\ =&\,\boxed{0.678}\quad\text{(to 3 significant figures)}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以按 W1W_1 分类。由于 X1⩽3X_1\leqslant3，当 W1⩾4W_1\geqslant4 时一定有 X1<W1X_1<W_1；只需另外处理 W1=1,2,3W_1=1,2,3 的情况。

答题过程

展开 P(X1<W1)= P(W1=1)P(X1<1) +P(W1=2)P(X1<2) +P(W1=3)P(X1<3) +P(W1⩾4)= 0.0733(0.008)+0.1465(0.104) +0.1954(0.488)+(1−0.4335)= 0.6777…= 0.678(to 3 significant figures).\begin{align*} P(X_1<W_1) =&\,P(W_1=1)P(X_1<1) \\ &\,\hspace{2pt}+P(W_1=2)P(X_1<2) \\ &\,\hspace{4pt}+P(W_1=3)P(X_1<3) \\ &\,\hspace{6pt}+P(W_1\geqslant4) \\ =&\,0.0733(0.008)+0.1465(0.104) \\ &\,\hspace{2pt}+0.1954(0.488)+(1-0.4335) \\ =&\,0.6777\ldots \\ =&\,\boxed{0.678}\quad\text{(to 3 significant figures)}. \end{align*}