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S2 2022 June Q1

A Level / Edexcel / S2

IAL 2022 June Paper · Question 1

题目

Problem

The independent random variables WW and XX have the following distributions.

W ∼Po⁡(4),X ∼B⁡(3,0.8).\begin{aligned} W&\,\sim\operatorname{Po}(4),\\ X&\,\sim\operatorname{B}(3,0.8). \end{aligned}

(a) Write down the value of the variance of WW

(1)

(b) Determine the mode of XX

Show your working clearly.

(2)

One observation from each distribution is recorded as W1W_1 and X1X_1 respectively.

(c) Find

 P(W1=2 and X1=2)\begin{aligned} &\,P(W_1=2\\ &\,\hspace{6pt}\text{and }X_1=2) \end{aligned}
(3)

(d) Find P(X1<W1)P(X_1<W_1)

(4)

(Total for Question 1 is 10 marks)

题目中文翻译

独立随机变量 WW 和 XX 的分布如下。

W ∼Po⁡(4),X ∼B⁡(3,0.8).\begin{aligned} W&\,\sim\operatorname{Po}(4),\\ X&\,\sim\operatorname{B}(3,0.8). \end{aligned}

(a) 写出 WW 的方差值。

(1)

(b) 求 XX 的众数。 清楚展示你的计算过程。

(2)

从各自分布中各记录一个观测值，分别记为 W1W_1 和 X1X_1。

(c) 求

 P(W1=2 and X1=2).\begin{aligned} &\,P(W_1=2\\ &\,\hspace{6pt}\text{and }X_1=2). \end{aligned}
(3)

(d) 求 P(X1<W1)P(X_1 < W_1)。

(4)

（第 1 题共 10 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

泊松分布的均值和方差都等于其参数。这里 W∼Po⁡(4)W\sim\operatorname{Po}(4)，所以可直接写出方差。

答题过程

展开

Since W∼Po⁡(4)W\sim\operatorname{Po}(4),

Var⁡(W)=4.\boxed{\operatorname{Var}(W)=4}.

(b)

解法一

思路

展开

XX 只能取 0,1,2,30,1,2,3。先计算二项分布各取值的概率，再找出概率最大的取值；不能只写众数而没有计算过程。

答题过程

展开

For X∼B⁡(3,0.8)X\sim\operatorname{B}(3,0.8),

xP(X=x)00.00810.09620.38430.512\begin{array}{c|c} x & P(X=x)\\ \hline 0 & 0.008\\ 1 & 0.096\\ 2 & 0.384\\ 3 & 0.512 \end{array}

For example,

 P(X=2) =(32)(0.8)2(0.2) =0.384, P(X=3) =(0.8)3 =0.512.\begin{align*} &\,P(X=2)\\\\ &\,=\binom{3}{2}(0.8)^2(0.2)\\ &\,=0.384,\\ &\,P(X=3)\\ &\,=(0.8)^3\\ &\,=0.512. \end{align*}

The greatest probability is P(X=3)=0.512P(X=3)=0.512. Therefore, the mode of XX is

3.\boxed{3}.

(c)

解法一

思路

展开

W1W_1 与 X1X_1 相互独立，因此两者同时等于 2 的概率等于各自概率的乘积。分别使用泊松分布与二项分布的概率公式。

答题过程

展开 P(W1=2)=e−4422!P(W_1=2)=\frac{e^{-4}4^2}{2!}

and

 P(X1=2) =(32)(0.8)2(0.2) =0.384.\begin{align*} &\,P(X_1=2)\\\\ &\,=\binom{3}{2}(0.8)^2(0.2)\\ &\,=0.384. \end{align*}

By independence,

 P(W1=2, X1=2) =P(W1=2) ×P(X1=2) =e−4422!×0.384 =0.0562656… =0.0563.\begin{align*} &\,P(W_1=2,\ X_1=2)\\ &\,=P(W_1=2)\\ &\,\hspace{2pt}\times P(X_1=2)\\ &\,=\frac{e^{-4}4^2}{2!}\times0.384 \\ &\,=0.0562656\ldots \\ &\,=\boxed{0.0563}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以用泊松累积概率之差求单点概率，再乘以独立的二项概率。表中数值已舍入，最后取三位有效数字。

答题过程

展开

Using the Statistical Tables,

 P(W1=2) =P(W1⩽2) −P(W1⩽1) =0.2381−0.0916 =0.1465.\begin{align*} &\,P(W_1=2)\\\\ &\,=P(W_1\leqslant2)\\ &\,\hspace{2pt}-P(W_1\leqslant1)\\ &\,=0.2381-0.0916\\ &\,=0.1465. \end{align*}

By independence,

 P(W1=2, X1=2) ≈0.1465×0.384 =0.056256 ≈0.0563.\begin{align*} &\,P(W_1=2,\ X_1=2)\\ &\,\approx0.1465\times0.384\\ &\,=0.056256\\ &\,\approx\boxed{0.0563}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

按 X1X_1 的四个可能取值分类。当 X1=xX_1=x 时，需要 W1>xW_1>x。由于两个随机变量独立，把每个 P(X1=x)P(X_1=x) 与相应泊松上尾概率相乘后求和。

答题过程

展开

Using the Statistical Tables,

xP(X1=x)00.00810.09620.38430.512\begin{array}{c|c} x & P(X_1=x)\\ \hline 0 & 0.008\\ 1 & 0.096\\ 2 & 0.384\\ 3 & 0.512 \end{array} xP(W1⩽x)00.018310.091620.238130.4335\begin{array}{c|c} x & P(W_1\leqslant x)\\ \hline 0 & 0.0183\\ 1 & 0.0916\\ 2 & 0.2381\\ 3 & 0.4335 \end{array}

Therefore,

 P(X1<W1) =0.008(1−0.0183) +0.096(1−0.0916) +0.384(1−0.2381) +0.512(1−0.4335) =0.677677… =0.678.\begin{align*} &\,P(X_1<W_1)\\ &\,=0.008(1-0.0183) \\ &\,\hspace{2pt}+0.096(1-0.0916) \\ &\,\hspace{4pt}+0.384(1-0.2381) \\ &\,\hspace{6pt}+0.512(1-0.4335) \\ &\,=0.677677\ldots \\ &\,=\boxed{0.678}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以按 W1W_1 分类。由于 X1⩽3X_1\leqslant3，当 W1⩾4W_1\geqslant4 时一定有 X1<W1X_1<W_1；只需另外处理 W1=1,2,3W_1=1,2,3 的情况。

答题过程

展开  P(X1<W1) =P(W1=1) ×P(X1<1) +P(W1=2) ×P(X1<2) +P(W1=3) ×P(X1<3) +P(W1⩾4) =0.0733(0.008) +0.1465(0.104) +0.1954(0.488) +(1−0.4335) =0.6776872 =0.678.\begin{align*} &\,P(X_1<W_1)\\ &\,=P(W_1=1)\\ &\,\hspace{6pt}\times P(X_1<1) \\ &\,\hspace{2pt}+P(W_1=2)\\ &\,\hspace{6pt}\times P(X_1<2) \\ &\,\hspace{4pt}+P(W_1=3)\\ &\,\hspace{6pt}\times P(X_1<3) \\ &\,\hspace{6pt}+P(W_1\geqslant4) \\ &\,=0.0733(0.008)\\ &\,\hspace{2pt}+0.1465(0.104)\\ &\,\hspace{4pt}+0.1954(0.488)\\ &\,\hspace{6pt}+(1-0.4335)\\ &\,=0.6776872 \\ &\,=\boxed{0.678}. \end{align*}