题目

Problem

A point is to be randomly plotted on the x-axis, where the units are measured in cm. The random variable $R$ represents the x coordinate of the point on the x-axis and $R$ is uniformly distributed over the interval $[-5, 19]$ A negative value indicates that the point is to the left of the origin and a positive value indicates that the point is to the right of the origin.

(a) Find the exact probability that the point is plotted to the right of the origin.

(1)

(b) Find the exact probability that the point is plotted more than 3.5 cm away from the origin.

(2)

Three independent points with x coordinates $R_1$ , $R_2$ and $R_3$ are plotted on the x-axis.

(d) Find the exact probability that

(i) all three points are more than 10 cm from the origin

(3)

(ii) the point furthest from the origin is more than 10 cm from the origin.

(2)

(Total for Question 3 is 10 marks)

题目中文翻译

一个点要随机绘制在 $x$ 轴上，单位为厘米。随机变量 $R$ 表示该点的 $x$ 坐标，且 $R$ 在区间 $[-5, 19]$ 上均匀分布。负值表示点在原点左侧，正值表示点在原点右侧。

(a) 求该点位于原点右侧的精确概率。

(b) 求该点离原点超过 3.5 cm 的精确概率。

三个独立点的 $x$ 坐标分别为 $R_1$ 、 $R_2$ 和 $R_3$ ，都被绘制在 $x$ 轴上。

(d) 求以下事件的精确概率：

(i) 三个点都离原点超过 10 cm，

(ii) 离原点最远的点超过 10 cm。

（第 3 题共 10 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

均匀分布在某个区间内的概率等于相应子区间长度除以总区间长度。点位于原点右侧对应 $R>0$ 。

答题过程

展开

The total length of the interval is

19-(-5)=24.

Therefore,

P(R>0)=\frac{19-0}{24}=\boxed{\frac{19}{24}}.

(b)

解法一

思路

展开

离原点超过 $3.5$ cm 表示 $R<-3.5$ 或 $R>3.5$ 。这两个区间互不重叠，因此把它们的长度所对应的概率相加。

答题过程

展开

\begin{align*} P(|R|>3.5) =&\,P(R<-3.5)+P(R>3.5) \\ =&\,\frac{-3.5-(-5)}{24} \\ &\,\hspace{2pt}+\frac{19-3.5}{24} \\ =&\,\frac{1.5+15.5}{24} \\ =&\,\boxed{\frac{17}{24}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先求点位于原点左右 $3.5$ cm 以内的概率，再用对立事件。中央区间 $[-3.5,3.5]$ 的长度为 7。

答题过程

展开

\begin{align*} P(|R|>3.5) =&\,1-P(-3.5\leqslant R\leqslant3.5) \\ =&\,1-\frac{3.5-(-3.5)}{24} \\ =&\,1-\frac{7}{24} \\ =&\,\boxed{\frac{17}{24}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

累积分布函数在 $r<-5$ 时为 0，在 $-5\leqslant r<19$ 上随区间长度线性增加，并在 $r\geqslant19$ 时达到 1。草图的关键是连接 $(-5,0)$ 与 $(19,1)$ ，并清楚标出端点。

答题过程

展开

The cumulative distribution function is

F(r)= \begin{cases} 0, & r<-5, \\ \dfrac{r+5}{24}, & -5\leqslant r<19, \\ 1, & r\geqslant19. \end{cases}

Hence the graph is horizontal at 0 for $r<-5$ , is a straight line from $(-5,0)$ to $(19,1)$ , and is horizontal at 1 for $r>19$ .

(d)(i)

解法一

思路

展开

由于 $R$ 的最小值为 $-5$ ，点不可能在原点左侧超过 10 cm。因此“离原点超过 10 cm”等价于 $R>10$ 。先求单个点满足条件的概率，再利用三个点相互独立将概率三次方。

答题过程

展开

For one point,

P(|R|>10)=P(R>10)=\frac{19-10}{24}=\frac{3}{8}.

Since the three points are independent,

\begin{align*} &\,P(\text{all three are more than 10 cm from the origin}) \\ =&\,\left(\frac{3}{8}\right)^3 \\ =&\,\boxed{\frac{27}{512}}. \end{align*}

(d)(ii)

解法一

思路

展开

最远的点离原点超过 10 cm，等价于三个点中至少有一个满足 $R>10$ 。用对立事件，先求三个点都不超过 10 cm 的概率。

答题过程

展开

For one point,

P(R\leqslant10)=\frac{10-(-5)}{24}=\frac{5}{8}.

Therefore,

\begin{align*} P(\text{furthest distance}>10) =&\,1-\big[P(R\leqslant10)\big]^3 \\ =&\,1-\left(\frac{5}{8}\right)^3 \\ =&\,\boxed{\frac{387}{512}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以把“至少一个点离原点超过 10 cm”拆成恰好一个、恰好两个和恰好三个点满足条件，再用二项分布概率相加。

答题过程

展开

Let $N$ be the number of points more than 10 cm from the origin. Then

N\sim\operatorname{B}\left(3,\frac{3}{8}\right).

Hence,

\begin{align*} P(N\geqslant1) =&\,P(N=1)+P(N=2)+P(N=3) \\ =&\,3\left(\frac{3}{8}\right)\left(\frac{5}{8}\right)^2 \\ &\,+3\left(\frac{3}{8}\right)^2\left(\frac{5}{8}\right) \\ &\,+\left(\frac{3}{8}\right)^3 \\ =&\,\frac{225+135+27}{512} \\ =&\,\boxed{\frac{387}{512}}. \end{align*}

IAL 2022 June S2 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)(i)

解法一

思路

答题过程

(d)(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程