溶液中每毫升的粒子数服从均值为 0.15 的泊松分布。

随机取 50 毫升的溶液样本。

(a) 求以下概率：

(i) 恰好有 10 个粒子，

(ii) 发现 6 到 11 个粒子（含端点）。

Petra 取了 12 个互相独立的 $m$ 毫升溶液样本。

其中至少 2 个样本不含粒子的概率为 0.1184。

(b) 使用给定的统计表，求 $m$ 的值。

（第 5 题共 10 分）

50 毫升样本中的粒子数仍服从泊松分布，其均值按体积扩大为 $50\times0.15=7.5$。使用统计表时，可用两个累积概率之差求恰好出现 10 个粒子的概率。

Let $X$ be the number of particles in the 50 ml sample. Then

Using the Statistical Tables,

恰好出现 10 个粒子，也可以直接代入泊松分布的概率公式。

For $X\sim\operatorname{Po}(7.5)$,

“6 到 11 个且包含端点”对应 $6\leqslant X\leqslant11$。统计表给出的是下侧累积概率，因此从 $P(X\leqslant11)$ 中减去 $P(X\leqslant5)$。

先设一个 $m$ 毫升样本不含粒子的概率为 $p$。12 个样本相互独立，所以不含粒子的样本数服从二项分布。由“至少 2 个”的概率求出 $P(Y\leqslant1)$，再查二项分布表得到 $p$。最后利用 $m$ 毫升样本中的粒子数服从均值为 $0.15m$ 的泊松分布，把“零个粒子”的概率写成 $e^{-0.15m}$。

Let $p$ be the probability that one $m$ ml sample contains no particles, and let $Y$ be the number of the 12 samples that contain no particles. Then

Since $P(Y\geqslant2)=0.1184$,

From the Statistical Tables for $Y\sim\operatorname{B}(12,p)$,

Let $S$ be the number of particles in one $m$ ml sample. Then

Therefore,

Hence,

前面的二项分布查表仍给出单个样本不含粒子的概率 $0.05$。还可以查泊松分布表，找到零粒子概率接近 $0.05$ 时的参数，再除以每毫升的均值 $0.15$ 得到样本体积。

As above, the binomial tables give $p=0.05$. Write

From the Poisson tables, when $\lambda=3$,

Hence $\lambda\approx3$, so