CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2022 June S2 Q5

A Level / Edexcel / S2

IAL 2022 June Paper · Question 5

题目

Problem

The number of particles per millilitre in a solution is modelled by a Poisson distribution with mean 0.15

A randomly selected 50 millilitre sample of the solution is taken.

(a) Find the probability that

(i) exactly 10 particles are found,

(ii) between 6 and 11 particles (inclusive) are found.

(4)

Petra takes 12 independent samples of mm millilitres of the solution. The probability that at least 2 of these samples contain no particles is 0.1184

(b) Using the Statistical Tables provided, find the value of mm

(6)

(Total for Question 5 is 10 marks)

题目中文翻译

溶液中每毫升的粒子数服从均值为 0.15 的泊松分布。

随机取 50 毫升的溶液样本。

(a) 求以下概率：

(i) 恰好有 10 个粒子，

(ii) 发现 6 到 11 个粒子（含端点）。

Petra 取了 12 个互相独立的 mm 毫升溶液样本。 其中至少 2 个样本不含粒子的概率为 0.1184。

(b) 使用给定的统计表，求 mm 的值。

（第 5 题共 10 分）

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

50 毫升样本中的粒子数仍服从泊松分布，其均值按体积扩大为 50×0.15=7.550\times0.15=7.5。使用统计表时，可用两个累积概率之差求恰好出现 10 个粒子的概率。

答题过程

展开

Let XX be the number of particles in the 50 ml sample. Then

X∼Po⁡(50×0.15)=Po⁡(7.5).X\sim\operatorname{Po}(50\times0.15)=\operatorname{Po}(7.5).

Using the Statistical Tables,

P(X=10)= P(X⩽10)−P(X⩽9)= 0.8622−0.7764= 0.0858.\begin{align*} P(X=10)=&\,P(X\leqslant10)-P(X\leqslant9) \\ =&\,0.8622-0.7764 \\ =&\,\boxed{0.0858}. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

“6 到 11 个且包含端点”对应 6⩽X⩽116\leqslant X\leqslant11。统计表给出的是下侧累积概率，因此用 P(X⩽11)−P(X⩽5)P(X\leqslant11)-P(X\leqslant5)。

答题过程

展开 P(6⩽X⩽11)= P(X⩽11)−P(X⩽5)= 0.9208−0.2414= 0.6794.\begin{align*} P(6\leqslant X\leqslant11) =&\,P(X\leqslant11)-P(X\leqslant5) \\ =&\,0.9208-0.2414 \\ =&\,\boxed{0.6794}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先设一个 mm 毫升样本不含粒子的概率为 pp。12 个样本相互独立，所以不含粒子的样本数服从二项分布。由“至少 2 个”的概率求出 P(Y⩽1)P(Y\leqslant1)，再查二项分布表得到 pp。最后利用 mm 毫升样本中的粒子数服从均值为 0.15m0.15m 的泊松分布，把“零个粒子”的概率写成 e−0.15me^{-0.15m}。

答题过程

展开

Let pp be the probability that one mm ml sample contains no particles, and let YY be the number of the 12 samples that contain no particles. Then

Y∼B⁡(12,p).Y\sim\operatorname{B}(12,p).

Since P(Y⩾2)=0.1184P(Y\geqslant2)=0.1184,

P(Y⩽1)= 1−0.1184= 0.8816.\begin{align*} P(Y\leqslant1)=&\,1-0.1184 \\ =&\,0.8816. \end{align*}

From the Statistical Tables for Y∼B⁡(12,p)Y\sim\operatorname{B}(12,p),

p=0.05.p=0.05.

Let SS be the number of particles in one mm ml sample. Then

S∼Po⁡(0.15m).S\sim\operatorname{Po}(0.15m).

Therefore,

P(S=0)=e−0.15m= 0.05−0.15m= ln⁡(0.05)m= −ln⁡(0.05)0.15= 19.9715…\begin{align*} P(S=0)=e^{-0.15m}=&\,0.05 \\ -0.15m=&\,\ln(0.05) \\ m=&\,-\frac{\ln(0.05)}{0.15} \\ =&\,19.9715\ldots \end{align*}

Hence,

m=20.0(to 3 significant figures).\boxed{m=20.0}\quad\text{(to 3 significant figures)}.