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S2 2022 June Q6

A Level / Edexcel / S2

IAL 2022 June Paper · Question 6

题目

Problem

The continuous random variable XX has probability density function

 f(x)= {0.1x,0⩽x<2,kx(8−x),2⩽x<4,a,4⩽x<6,0,otherwise.\begin{aligned} &\,f(x)=\\ &\,\begin{cases} 0.1x,\quad0\leqslant x<2,\\[1mm] kx(8-x),\\ \qquad2\leqslant x<4,\\[1mm] a,\quad4\leqslant x<6,\\[1mm] 0,\quad\text{otherwise}. \end{cases} \end{aligned}

where kk and aa are constants.

It is known that P(X<4)=3145P(X < 4) = \dfrac{31}{45}

(a) Find the exact value of kk

(4)

(b) (i) Find the exact value of aa

(ii) Find the exact value of P(0⩽X⩽5.5)P(0 \leqslant X \leqslant 5.5)

(3)

(c) Specify fully the cumulative distribution function of XX

(6)

(Total for Question 6 is 13 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 XX 的概率密度函数为

 f(x)= {0.1x,0⩽x<2,kx(8−x),2⩽x<4,a,4⩽x<6,0,otherwise.\begin{aligned} &\,f(x)=\\ &\,\begin{cases} 0.1x,\quad0\leqslant x<2,\\[1mm] kx(8-x),\\ \qquad2\leqslant x<4,\\[1mm] a,\quad4\leqslant x<6,\\[1mm] 0,\quad\text{otherwise}. \end{cases} \end{aligned}

其中 kk 和 aa 为常数。

已知 P(X<4)=3145P(X < 4) = \dfrac{31}{45}。

(a) 求 kk 的精确值。

(4)

(b) (i) 求 aa 的精确值。

(ii) 求 P(0⩽X⩽5.5)P(0 \leqslant X \leqslant 5.5) 的精确值。

(3)

(c) 完整写出 XX 的累积分布函数。

(6)

（第 6 题共 13 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

已知 P(X<4)P(X<4)，因此把概率密度函数在 0⩽x<20\leqslant x<2 和 2⩽x<42\leqslant x<4 两段上的积分相加，并令其等于 3145\dfrac{31}{45}，即可解出 kk。

答题过程

展开  ∫020.1x dx +∫24kx(8−x) dx =3145.\begin{align*} &\,\int_0^2 0.1x\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}+\int_2^4 kx(8-x)\,\mathrm{d}x\\ &\,=\frac{31}{45}. \end{align*}

Therefore,

 [0.05x2]02 +k[4x2−x33]24 =3145, 15+k(1283−403) =3145, 15+88k3=3145, 88k3=3145−945 =2245.\begin{align*} &\,\big[0.05x^2\big]_0^2\\ &\,\hspace{2pt}+k\Big[4x^2-\frac{x^3}{3}\Big]_2^4\\ &\,=\frac{31}{45},\\[2mm] &\,\frac15+k\Big(\frac{128}{3}-\frac{40}{3}\Big)\\ &\,=\frac{31}{45},\\[2mm] &\,\frac15+\frac{88k}{3}=\frac{31}{45},\\ &\,\frac{88k}{3}=\frac{31}{45}-\frac9{45}\\ &\,=\frac{22}{45}. \end{align*}

Hence,

 k=2245×388 =160.\begin{align*} &\,k=\frac{22}{45}\times\frac3{88}\\ &\,=\boxed{\frac1{60}}. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

概率密度函数下的总面积为 1。已知 P(X<4)=3145P(X<4)=\dfrac{31}{45}，所以区间 4⩽X<64\leqslant X<6 下方的矩形面积为 1−31451-\dfrac{31}{45}；用面积除以区间宽度 2 即得 aa。

答题过程

展开 2a=1−3145=14452a=1-\frac{31}{45}=\frac{14}{45}

Therefore,

a=745.a=\boxed{\frac{7}{45}}.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

把 P(X<4)P(X<4) 与区间 4⩽X⩽5.54\leqslant X\leqslant 5.5 上的矩形面积相加。连续型随机变量在单点处的概率为 0，因此端点取等号不影响结果。

答题过程

展开  P(0⩽X⩽5.5) =P(X<4) +∫45.5745 dx =3145+745(5.5−4) =3145+730 =8390.\begin{align*} &\,P(0\leqslant X\leqslant5.5)\\ &\,=P(X<4)\\ &\,\hspace{2pt}+\int_4^{5.5}\frac7{45}\,\mathrm{d}x\\ &\,=\frac{31}{45}+\frac7{45}(5.5-4)\\ &\,=\frac{31}{45}+\frac7{30}\\ &\,=\boxed{\frac{83}{90}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以从总概率 1 中减去区间 5.5<X<65.5<X<6 上的矩形面积。这个区间宽 0.50.5，高度为 aa。

答题过程

展开

Using the complementary event and a=7/45a=7/45,

 P(0⩽X⩽5.5) =1−P(5.5<X<6) =1−(6−5.5)a =1−12×745 =8390.\begin{align*} &\,P(0\leqslant X\leqslant5.5)\\ &\,=1-P(5.5<X<6)\\ &\,=1-(6-5.5)a\\ &\,=1-\frac12\times\frac7{45}\\ &\,=\boxed{\frac{83}{90}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

累积分布函数为 F(x)=P(X⩽x)F(x)=P(X\leqslant x)。前两段分别从区间起点积分，并加上之前已经累积的概率；最后一段先写原函数加常数，再用 F(6)=1F(6)=1 确定常数。支持区间之外分别取 0 和 1。

答题过程

展开

For 0⩽x<20\leqslant x<2,

 F(x)=∫0x0.1t dt =[0.05t2]0x =0.05x2.\begin{align*} &\,F(x)=\int_0^x0.1t\,\mathrm{d}t\\ &\,=\big[0.05t^2\big]_0^x\\ &\,=0.05x^2. \end{align*}

Thus F(2)=1/5F(2)=1/5. For 2⩽x<42\leqslant x<4,

 F(x) =F(2) +∫2x160t(8−t) dt =15+160[4t2−t33]2x =15+160(4x2−x33 −403) =160(4x2−x33−43) =12x2−x3−4180.\begin{align*} &\,F(x)\\ &\,=F(2)\\ &\,\hspace{2pt}+\int_2^x\frac1{60}t(8-t)\,\mathrm{d}t\\ &\,=\frac15+\frac1{60}\Big[4t^2-\frac{t^3}{3}\Big]_2^x\\ &\,=\frac15+\frac1{60}\Big(4x^2-\frac{x^3}{3}\\ &\,\hspace{12pt}-\frac{40}{3}\Big)\\ &\,=\frac1{60}\Big(4x^2-\frac{x^3}{3}-\frac43\Big)\\ &\,=\frac{12x^2-x^3-4}{180}. \end{align*}

For 4⩽x<64\leqslant x<6, integrate the constant density:

F(x)=7x45+C.F(x)=\frac{7x}{45}+C.

Using F(6)=1F(6)=1,

 4245+C=1, C=1−4245=115.\begin{align*} &\,\frac{42}{45}+C=1,\\ &\,C=1-\frac{42}{45}=\frac1{15}. \end{align*}

Hence, on this interval,

F(x)=7x45+115.F(x)=\frac{7x}{45}+\frac1{15}.

The fully specified cumulative distribution function is

 F(x)= {0,x<0,0.05x2,0⩽x<2,12x2−x3−4180,2⩽x<4,7x45+115,4⩽x<6,1,x⩾6.\begin{aligned} &\,F(x)=\\ &\,\begin{cases} 0,\quad x<0,\\[1mm] 0.05x^2,\quad0\leqslant x<2,\\[1mm] \dfrac{12x^2-x^3-4}{180},\\ \qquad2\leqslant x<4,\\[1mm] \dfrac{7x}{45}+\dfrac1{15},\\ \qquad4\leqslant x<6,\\[1mm] 1,\quad x\geqslant6. \end{cases} \end{aligned}

解法二

思路

展开

也可以在每一段分别求原函数，加上各自的积分常数。用 F(0)=0F(0)=0、已求得的 F(2)=1/5F(2)=1/5 和 F(6)=1F(6)=1 逐一确定常数，最后补齐区间外的两段。

答题过程

展开

For 0⩽x<20\leqslant x<2,

F(x)=0.05x2+C1.F(x)=0.05x^2+C_1.

Since F(0)=0F(0)=0, C1=0C_1=0 and F(2)=0.05(22)=1/5F(2)=0.05(2^2)=1/5.

For 2⩽x<42\leqslant x<4,

 F(x) =160(4x2−x33)+C2.\begin{align*} &\,F(x)\\ &\,=\frac1{60}\Big(4x^2-\frac{x^3}{3}\Big)+C_2. \end{align*}

Match the value at x=2x=2:

 160(16−83)+C2 =15, C2=15−29 =−145.\begin{align*} &\,\frac1{60}\Big(16-\frac83\Big)+C_2\\ &\,=\frac15,\\ &\,C_2=\frac15-\frac29\\ &\,=-\frac1{45}. \end{align*}

Thus

 F(x) =160(4x2−x33)−145 =12x2−x3−4180.\begin{align*} &\,F(x)\\ &\,=\frac1{60}\Big(4x^2-\frac{x^3}{3}\Big)-\frac1{45}\\ &\,=\frac{12x^2-x^3-4}{180}. \end{align*}

For 4⩽x<64\leqslant x<6,

F(x)=7x45+C3.F(x)=\frac{7x}{45}+C_3.

Since F(6)=1F(6)=1,

C3=1−4245=115.C_3=1-\frac{42}{45}=\frac1{15}.

Therefore,

 F(x)= {0,x<0,0.05x2,0⩽x<2,12x2−x3−4180,2⩽x<4,7x45+115,4⩽x<6,1,x⩾6.\begin{aligned} &\,F(x)=\\ &\,\begin{cases} 0,\quad x<0,\\[1mm] 0.05x^2,\quad0\leqslant x<2,\\[1mm] \dfrac{12x^2-x^3-4}{180},\\ \qquad2\leqslant x<4,\\[1mm] \dfrac{7x}{45}+\dfrac1{15},\\ \qquad4\leqslant x<6,\\[1mm] 1,\quad x\geqslant6. \end{cases} \end{aligned}