题目
The continuous random variable has probability density function
0.1x & 0 \leqslant x < 2 \\ kx(8 - x) & 2 \leqslant x < 4 \\ a & 4 \leqslant x < 6 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ where $k$ and $a$ are constants. It is known that $P(X < 4) = \dfrac{31}{45}$ (a) Find the exact value of $k$ <div style="text-align: right;">(4)</div> (b) (i) Find the exact value of $a$ (ii) Find the exact value of $P(0 \leqslant X \leqslant 5.5)$ <div style="text-align: right;">(3)</div> (c) Specify fully the cumulative distribution function of $X$ <div style="text-align: right;">(6)</div> (Total for Question 6 is 13 marks)题目中文翻译
连续随机变量 的概率密度函数为
0.1x & 0 \leqslant x < 2 \\ kx(8 - x) & 2 \leqslant x < 4 \\ a & 4 \leqslant x < 6 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ 其中 $k$ 和 $a$ 为常数。 已知 $P(X < 4) = \dfrac{31}{45}$。 (a) 求 $k$ 的精确值。 (b) (i) 求 $a$ 的精确值。 (ii) 求 $P(0 \leqslant X \leqslant 5.5)$ 的精确值。 (c) 完整写出 $X$ 的累积分布函数。 （第 6 题共 13 分） </details> # 解答 ## (a) ### 思路 已知 $P(X<4)$，因此把概率密度函数在 $0\leqslant x<2$ 和 $2\leqslant x<4$ 两段上的积分相加，并令其等于 $\dfrac{31}{45}$，即可解出 $k$。 ### 答题过程\int_0^2 0.1x,\mathrm{d}x+\int_2^4 kx(8-x),\mathrm{d}x=\frac{31}{45}
\begin{align*} \left[0.05x^2\right]_0^2 +k\left[4x^2-\frac{x^3}{3}\right]_2^4 &=\frac{31}{45} \ \frac{1}{5}+k\left(\frac{128}{3}-\frac{40}{3}\right) &=\frac{31}{45} \ \frac{1}{5}+\frac{88k}{3} &=\frac{31}{45}. \end{align*}
k=\boxed{\frac{1}{60}}.
## (b)(i) ### 思路 概率密度函数下的总面积为 1。已知 $P(X<4)=\dfrac{31}{45}$，所以区间 $4\leqslant X<6$ 下方的矩形面积为 $1-\dfrac{31}{45}$；用面积除以区间宽度 2 即得 $a$。 ### 答题过程2a=1-\frac{31}{45}=\frac{14}{45}
a=\boxed{\frac{7}{45}}.
## (b)(ii) ### 思路 把 $P(X<4)$ 与区间 $4\leqslant X\leqslant 5.5$ 上的矩形面积相加。连续型随机变量在单点处的概率为 0，因此端点取等号不影响结果。 ### 答题过程\begin{align*} P(0\leqslant X\leqslant 5.5) &=P(X<4)+\int_4^{5.5}\frac{7}{45},\mathrm{d}x \ &=\frac{31}{45}+\frac{7}{45}(5.5-4) \ &=\frac{31}{45}+\frac{7}{30} \ &=\boxed{\frac{83}{90}}. \end{align*}
## (c) ### 思路 累积分布函数定义为 $F(x)=P(X\leqslant x)$。按概率密度函数的分段区间逐段积分，并在每一段加入前面区间已经累积的概率；区间外分别取 0 和 1。 ### 答题过程 For $0\leqslant x<2$,F(x)=\int_0^x 0.1t,\mathrm{d}t=0.05x^2.
For $2\leqslant x<4$,\begin{align*} F(x) &=F(2)+\int_2^x \frac{1}{60}t(8-t),\mathrm{d}t \ &=\frac{1}{5}+\frac{1}{60} \left[4t^2-\frac{t^3}{3}\right]_2^x \ &=\frac{1}{60}\left(4x^2-\frac{x^3}{3}-\frac{4}{3}\right). \end{align*}
For $4\leqslant x<6$,\begin{align*} F(x) &=F(4)+\int_4^x \frac{7}{45},\mathrm{d}t \ &=\frac{31}{45}+\frac{7}{45}(x-4) \ &=\frac{7x}{45}+\frac{1}{15}. \end{align*}
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0, \ 0.05x^2, & 0\leqslant x<2, \ \dfrac{1}{60}\left(4x^2-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{4}{3}\right), & 2\leqslant x<4, \ \dfrac{7x}{45}+\dfrac{1}{15}, & 4\leqslant x<6, \ 1, & x\geqslant 6. \end{cases}